¿Por qué es el principio de Huygens es sólo válido en un número impar de dimensiones espaciales?

Question

Al parecer principio de Huygens es válida únicamente en un número impar de dimensiones espaciales:

• http://mathoverflow.net/a/5396/21349

• Huygen del principio en la curva spacetimes

¿Por qué es esto?

[EDITAR] Esto es un poco desconcertante, ya que AFAIK es bastante común enseñar a los estudiantes de primer año de aproximadamente el doble y de una sola rendija de difracción utilizando una de dos dimensiones de análisis e invocar el principio de Huygens. Hace este trabajo sólo porque hay un ignorado tercer eje de simetría traslacional?

Me pregunto si es posible obtener una visión haciendo una cuadrícula y haciendo una especie de elemento finito análisis.

Answer 1

Usted debe buscar en la forma de la avanzada solución fundamental de la ecuación de D'Alembert, construido en geodesically convexo abierto conjuntos, incluyendo la fuente se localiza en el caso de $y$ y el punto de prueba se localiza en el enent $x$ la recepción de la onda que se generen por la fuente. La construcción, al menos para la analítica de colectores con métrica analítica, se obtiene sumando una bonita serie originalmente descubierto por Hadamard (y a cargo de Riesz en realidad; de hecho, hay un maravilloso papel en francés por Riesz acerca de esta fantástica construcción hoy en día relacionados con el calor del núcleo de la teoría con QFT en curva el espacio-tiempo). Hadamard-Riesz resultados se han ampliado para el buen caso por sevaral autores modernos (ver Guenther y Friedlander los libros de texto). La serie, si la dimensión da lugar a una solución fundamental que contiene un término que se apoya totalmente en el cono de luz que emanan de $y$. Por lo tanto, referirse a este plazo, las soluciones de la ecuación de D'Alembert emitida por $y$ se propaga a lo largo null geodesics para llegar a $x$$y$. Este es básicamente el principio de Huygens.

Si la dimensión es aún y el colector no es plana, o la dimensión es impar, además aparecen los términos añadida a la localizada en el cono de luz. El subyacente de "matemáticas" el fenómeno es más o menos el mismo, en el plano espacio-tiempo, cuando la adición de una masa a D'Alembert operador pasando así a la de Klein-Gordon ecuación que no obedece al principio de Huygens.

El punto relevante es que este nuevo plazo se admite ahora dentro de la futura cono de luz que emanan de $y$. En este caso no es una contribución a la ola de soluciones emitida por $y$ propaga a lo largo de timelike geodesics de$y$$x$, y el principio de Huygens falla.

Answer 2

Creo que esto se originó con Hadamard y su Método de Descenso. Ver las Conferencias en Cauchys Problema Lineal de Ecuaciones diferenciales Parciales, comenzando en la página 7. Sus resultados fueron que las ondas en dos dimensiones no propagar bruscamente, pero había una estela (una cola, ..). Por ejemplo. una circular de la onda que se propaga en el espacio de dos dimensiones frente a una onda esférica que se propagan en tres dimensiones del espacio donde se iba a propagar limpio, sin una estela.

Hadamard esencialmente tomó una rebanada a través de un cuerpo cilíndrico de onda en tres dimensiones para obtener una onda circular en dos dimensiones (descendiente de una dimensión). La gente ha tomado la propagación sin una estela a ser uno de los criterios en la satisfacción de Principio de Huygens.

Así que este es el origen de los "por qué", si acepta Hadamard resultados.