La Teoría De Los Números Cerebro Teaser

Question

Acabo de recibir este libro de número de teasers del cerebro, y esto es interesante y darme un poco de dificultad.

Pregunte a Joe a pensar que cualquier entero positivo. Dile a Joe para codificar los dígitos de este número entero para obtener otro número y, a continuación, resta el menor de los dos de los más grandes. Si la diferencia consiste de al menos dos dígitos pregunte a Joe para decirle todo, pero uno de estos dígitos, incluyendo los ceros, puede proporcionar la falta de dígitos! Explique.

Así que creo que he hecho algunos avances en este problema, porque sé que cualquier número entero se puede descomponer de la siguiente manera:

$n = a_{0} + a_{1}*10 + a_{2}*100 \space + \space ... \space + \space a_{n}*10^n$

$n = 9*(a_{1} + 11*a_{2} + 111*a_{3} + 111…1*a{n}) \space + \space (a_{0} + a_{1} + \space … \space + \space a_{n})$

Así que podría dejar el $a_{n} = s_{n} - t_{n}$ donde $s$ fue el mayor entero. Así que ese es mi pensamiento sobre el problema hasta ahora, pero sé que estoy lejos de una solución. Cualquier ayuda en la comprensión de este problema sería apreciado!

Answer 1

Deje $a$ el número de partida, y deje $b$ ser el revueltos número. Recordar que cualquier número es congruente modulo $9$ a la suma de sus dígitos decimales. Así que si $D$ es la suma de los dígitos de $a$ (y por tanto de $b$), tenemos $a\equiv D\equiv b\pmod{9}$, y por lo tanto $|a-b|$ es divisible por $9$.

Ahora se acaba de calcular la suma de $s$ de los dígitos que nos fue dado. La falta de dígitos es el dígito que debe ser agregado a $s$ para obtener un número divisible por $9$.

El único problema potencial que podría venir si $s$ es divisible por $9$, debido a que existen entonces dos dígitos ( $0$ $9$ ) que puede ser añadido a ella para obtener un resultado divisible por $9$. Que es donde la regla especial que nos dieron acerca de $0$'s entra en juego. Desde que nos dieron todas las $0$'s, si $s\equiv 0\pmod{9}$, la falta de dígitos debe ser $9$.

Comentario: El hecho de que un número es congruente modulo $9$ a la suma de sus dígitos no es difícil de demostrar. Para tener en cuenta el número $$A=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\cdots +a_1 10^1 +a_0.$$ Desde $10^k\equiv 1\pmod{9}$, se deduce que el $a_k10^k\equiv a_k\pmod{9}$. Por lo tanto $A\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1+a_0\pmod{9}$.

Answer 2

Más en general, vamos a $\rm\,\hat n$ ser obtenida a partir de a $\rm\,n\,$ mediante la eliminación de cualquier dígito $\rm\:d\ne 0.\:$ $\rm\,d\,$ puede ser determinado a partir de $\rm\:\color{#C00}{n\ mod\ 9}\,$ $\rm\:\color{#0A0}{\hat n\ mod\ 9}.\:$ de Hecho, echando $9$s sabemos que, mod $9,$ $\rm\: n \equiv s(n),\:$ la suma de los dígitos de $\rm\:n,\:$ $\rm\:\hat n\equiv s(n)-d.\:$ $\rm\:d\equiv s(n)-(s(n)-d)\equiv (\color{#C00}{n\ mod\ 9})-(\color{#0A0}{\hat n\ mod\ 9}).\:$ Esto determina $\rm\,d\,$ únicamente, ya que la única dígitos congruentes mod $9$ $0$ $9,\,$ pero sabemos $\rm\,d\ne 0$.

Su problema es un caso especial: su $\rm\,n\,$ es la diferencia de un número entero $\rm\:m\:$ y un entero $\rm\:m'$ obtenido por permuting los dígitos de $\rm\,m.\:$ ambos tienen los mismos dígitos por lo que tienen el mismo dígito sumas $\rm\:s(m') = s(m).\:$ Así mod $\rm9\!:$ $\rm\ n = m-m'\equiv s(m)-s(m')\equiv 0,\:$ es decir, $\rm\:(\color{#C00}{n\ mod\ 9}) = 0.$ Más, te dan todos los dígitos de $\rm\,\hat n\:$, por lo que usted sabe que su suma de dígitos $\rm\,s(\hat n)\:$ , lo que le da $\rm\,\color{#0A0}{\hat n\ mod\ 9}.$