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Dejar caer el "positivo" y "disminuir" las condiciones en la integral de la prueba

Sé que la Integral de la prueba es el siguiente teorema:

Suponga f es continua, positivay decreciente en [1,).

Si 1f(x)dx existe y es finito, entonces f(n) converge y viceversa.

Estoy buscando contraejemplos para esta prueba si:

(i) la condición positiva se ha caído;

(ii) la condición de la disminución de la cae.

6voto

user34380 Puntos 1

sin2(πn) converge como una suma, pero no de forma integral.

Edit: Como Nico puntos, usted puede hacer esto estrictamente positivo mediante la adición de 1/n2.

4voto

user21820 Puntos 11547

Al colocar la "disminución" de la condición, ambas direcciones de fallar incluso con el "positivo" de la condición! \def\l{\left} \def\r{\right} \def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}} \def\nn{\mathbb{N}} \def\rr{\mathbb{R}}

\sum_{n=1}^\infty \l( \sin(nπ)^2 + \lfrac1{n^2} \r) = \color{blue}{\lfrac{π^2}{6}} pero \int_1^\infty \l( \sin(nπ)^2 + \lfrac1{n^2} \r)\ dn = \color{red}{\infty}.

\sum_{n=1}^\infty \lfrac1{n^4 \sin(nπ)^2+1} = \color{red}{\infty} pero \int_1^\infty \lfrac1{n^4 \sin(nπ)^2+1}\ dn < \color{blue}{\lfrac{π^2}{6}}.

Para derivar la desigualdad anterior, tenga en cuenta lo siguiente para cualquier k \in \nn_+n \in [k,k+1]:

  • \int_k^{k+1} \lfrac1{n^4 \sin(nπ)^2+1}\ dn < \int_k^{k+1} \lfrac1{(k^4-1) \sin(nπ)^2+1}\ dn = \int_{-\frac12}^\frac12 \lfrac1{(k^4-1) \sin(xπ)^2+1}\ dx = \lfrac1{k^2}.

    [Para obtener la última integral, el uso de la sustitución de t = \tan(xπ).]

1voto

user361424 Puntos 148

No puede ser que hay una serie convergente o integral que negativa y decreciente, ya que sería, por definición, estar por encima de un determinado valor absoluto para suficientemente grande n o t. Así, por negativo, disminuyendo, y continua, es trivialmente cierto.

Para disminuir, no hay ninguna razón usted no puede tener un continuo (aunque no diferenciable) de la función como una sierra, con líneas que se ejecutan a \frac{1}{x^2} a los enteros y 2 en la mitad de puntos entre los números enteros. Que sería un contraejemplo, ya que la integral entre dos enteros positivos nunca iba a caer por debajo de 1, por lo que la integral no convergen, incluso a pesar de que la serie iba.

0voto

user254665 Puntos 4075

Dada una secuencia (f(n))_n tal que \sum_1^\infty f(n) converge, se puede extender f a un continuo función real que hace casi cualquier cosa que usted desea en cada una de las [n,n+1].

Por ejemplo, para cada una de las n, deje f(x) ser lineal en [n,n+1/2] y lineal en [n+1/2, n] f(n+1/2) suficientemente grande como para que \int_n^{n+1}f(x)\;dx>1. \int_1^{\infty}f(x)\;dx=\infty. De curso f no es monótona.

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