Dejar caer el "positivo" y "disminuir" las condiciones en la integral de la prueba

Question

Sé que la Integral de la prueba es el siguiente teorema:

Suponga $f$ es continua, positivay decreciente en [$1, \infty$).

Si $\int_1 ^{\infty}f(x)\,dx$ existe y es finito, entonces $\sum f(n)$ converge y viceversa.

Estoy buscando contraejemplos para esta prueba si:

(i) la condición positiva se ha caído;

(ii) la condición de la disminución de la cae.

Answer 1

$\sin^2(\pi n)$ converge como una suma, pero no de forma integral.

Edit: Como Nico puntos, usted puede hacer esto estrictamente positivo mediante la adición de $1/n^2$.

Answer 2

Al colocar la "disminución" de la condición, ambas direcciones de fallar incluso con el "positivo" de la condición! $ \def\l{\left} \def\r{\right} \def\lfrac#1#2{{\large\frac{#1}{#2}}} \def\nn{\mathbb{N}} \def\rr{\mathbb{R}} $

$\sum_{n=1}^\infty \l( \sin(nπ)^2 + \lfrac1{n^2} \r) = \color{blue}{\lfrac{π^2}{6}}$ pero $\int_1^\infty \l( \sin(nπ)^2 + \lfrac1{n^2} \r)\ dn = \color{red}{\infty}$.

$\sum_{n=1}^\infty \lfrac1{n^4 \sin(nπ)^2+1} = \color{red}{\infty}$ pero $\int_1^\infty \lfrac1{n^4 \sin(nπ)^2+1}\ dn < \color{blue}{\lfrac{π^2}{6}}$.

Para derivar la desigualdad anterior, tenga en cuenta lo siguiente para cualquier $k \in \nn_+$$n \in [k,k+1]$:

• $\int_k^{k+1} \lfrac1{n^4 \sin(nπ)^2+1}\ dn < \int_k^{k+1} \lfrac1{(k^4-1) \sin(nπ)^2+1}\ dn = \int_{-\frac12}^\frac12 \lfrac1{(k^4-1) \sin(xπ)^2+1}\ dx = \lfrac1{k^2}$.

  [Para obtener la última integral, el uso de la sustitución de $t = \tan(xπ)$.]

Answer 3

No puede ser que hay una serie convergente o integral que negativa y decreciente, ya que sería, por definición, estar por encima de un determinado valor absoluto para suficientemente grande n o t. Así, por negativo, disminuyendo, y continua, es trivialmente cierto.

Para disminuir, no hay ninguna razón usted no puede tener un continuo (aunque no diferenciable) de la función como una sierra, con líneas que se ejecutan a $\frac{1}{x^2}$ a los enteros y 2 en la mitad de puntos entre los números enteros. Que sería un contraejemplo, ya que la integral entre dos enteros positivos nunca iba a caer por debajo de 1, por lo que la integral no convergen, incluso a pesar de que la serie iba.

Answer 4

Dada una secuencia $(f(n))_n$ tal que $\sum_1^\infty f(n)$ converge, se puede extender $f$ a un continuo función real que hace casi cualquier cosa que usted desea en cada una de las $[n,n+1].$

Por ejemplo, para cada una de las $n,$ deje $f(x)$ ser lineal en $[n,n+1/2]$ y lineal en $[n+1/2, n]$ $f(n+1/2)$ suficientemente grande como para que $\int_n^{n+1}f(x)\;dx>1.$ $\int_1^{\infty}f(x)\;dx=\infty.$ De curso $f$ no es monótona.