El uso de la inducción para demostrar que $n^2 > n + 1$ $n\geq2$

Question

Use inducción matemática para demostrar que $n^2 > n + 1$ todos los $n\geq2.$

He comprobado que es cierto para el caso inicial $n=2$$4>3$, y han asumido que la expresión sea verdadera para $k^2 > k + 1$ donde $k\geq 2$.

Así que tengo que probar que $(k + 1)^2 >(k + 1) + 1$.

Mi proceso de pensamiento para que este fue el primero en expandir $(k + 1)^2$, lo que equivale a $k^2 + 2k + 1.$ Por lo tanto, tenemos $k^2 + 2k + 1 > (k + 1) + 1.$

Me di cuenta de que hay un $k^2$ plazo y un $k+1$ plazo y se estableció a partir de la ecuación inicial que $k^2 > k + 1$. Esto me dejó con $2k + 1 > 1$, que sabemos que es verdadero como $k\geq 2$.

Es este un método adecuado de demostrar que esta afirmación es cierta, o no es aconsejable dividir la desigualdad en varios términos?

Answer 1

Se ve más bonito si de un lado de la expresión se deriva de la otra: $$\begin{equation}(k+1)^2 = k^2+2k+1 \stackrel{\text{IH}}{>} k+1 + 2k +1 = k+2 + 2k > k+2 \end{equation}$$

Pero sí, su método está bien.

Answer 2

Sin explícitamente el uso de la inducción, se puede escribir en este de una línea de prueba: $$n^2-n=n(n-1) \ge 2 \cdot 1 > 1$$

La inducción está implícita en $a \ge a', b \ge b' \implies ab \ge a'b'$.

Answer 3

Realmente sólo hay un problema menor con el comprobante:

[...] y han asumido que la expresión sea verdadera para $k^2>k+1$ donde $k\geq 2$.

Ah, ¿pero no es eso lo que en realidad está tratando de probar? Es decir, parece que en realidad se está suponiendo que lo que usted está tratando de demostrar. Una solución simple, hará: "Revisión de algunos $k\geq 2$, y se supone que $k^2>k+1$ es cierto. ..."

Es este un método adecuado de demostrar que esta afirmación es cierta?

No exactamente. Parece que el uso de la inducción aquí es un poco exagerado porque fácilmente se puede demostrar la desigualdad señalando que $k^2>k+1\Longleftrightarrow k^2-k-1>0\Longleftrightarrow k(k-1)-1>0$, y esto es claramente cierto al $k\geq 2$; para demostrar que es verdad, usted podría utilizar algunas muy básicas de cálculo, pero creo que la mayoría de la gente iba a ver a $k(k-1)-1>0$ y no se preocupe acerca de la elaboración de una prueba de que esto es cierto para al $k\geq 2$ porque es claro que el "$k(k-1)$ término" crece para mayor $k$ y así sucesivamente. De hecho, usted realmente utilizar este tipo de razonamiento cuando se vaya de $k^2+2k+1>(k+1)+1$ [el razonamiento implícito es que el $k^2+2k+1>(k+1)+1\Longleftrightarrow k^2+k>0$, y esto es obviamente cierto al $k\geq 2$, pero alguien puede ser un poco molesto y requieren de una prueba a pesar de que claramente sería muy razonable]

Por lo tanto, yo no usaría la inducción de aquí a menos que fuera necesario, que suena como que podría haber sido. Usted puede beneficiarse de la lectura de este post acerca de cómo escribir una clara inducción de la prueba. Sólo para mostrar lo que puede parecer en tu caso aquí, me han proporcionado un más o menos pulido de la prueba a continuación. Espero que ayude.

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Para $n\geq 2$, vamos a $S(n)$ denotar la declaración de $$S(n) : n^2 > n+1.$$ Caso Base ($n=2$): $S(2)$ dice que $2^2=4>3=2+1$, y esto es cierto.

Inductivo paso $S(k)\to S(k+1)$: Corregir algunos $k\geq 2$, y se supone que $$S(k) : \color{verde}{k^2 > k+1}$$ sostiene. Para ser mostrado es que $$S(k+1) : \color{blue}{(k+1)^2 > (k+1)+1}$$ de la siguiente manera. Comenzando con el lado izquierdo de $S(k+1)$, $$\begin{align} \color{blue}{(k+1)^2} &= \color{green}{k^2}+2k+1\tag{expand}\\[0.5em] &> \color{green}{(k+1)}+2k+1\tag{by %#%#%, the ind. hyp.}\\[0.5em] &= 3k+1+1\tag{simplify}\\[0.5em] &> \color{blue}{(k+1)+1},\tag{%#%#% since %#%#%} \end{align}$$ terminamos en el lado derecho de la $S(k)$, completando el paso inductivo.

Por inducción matemática, la declaración de $3k>k$ es cierto para todos $k\geq 2$. $S(k+1)$