Deje $(X, \mathfrak T)$ ser un espacio topológico y supongamos que $A$ $B$ son subconjuntos de X. Si $A\subseteq B$ $A' \subseteq B'$

Question

Deje $(X, \mathfrak T)$ ser un espacio topológico y supongamos que $A$ $B$ son subconjuntos de X. Si $A\subseteq B$ $Bd(A) \subseteq Bd(B)$

Si $A\subseteq B$ $A' \subseteq B'$ ($A'$ es el conjunto de límite de puntos)

Deje $( X, \mathfrak T_U)$ ser el espacio topológico. Deje $A = [0,1) \cup (1,2)$ Deje $B = [0,1) \cup (1,3)$

A continuación, $A\subseteq B$ pero $Bd(A)= \{0,1,2\}$ $Bd(B) = \{0,1,3\}$ por lo tanto $Bd(A) \not \subseteq Bd(B)$, por lo que este es un falso conjetura.

Yo soy un poco más incómodo con el límite de puntos. Creo $A'= [0,1] \cup [2, \infty)$ $B'= [0,1] \cup [3, \infty)$ y por lo tanto de nuevo esta sería una falsa conjetura.

Mi definición de límite punto es que todo conjunto abierto que contiene a $x$ contiene un punto de $A$ diferente de la $x$.

Mi definición de límite es: Vamos a $(X,\mathfrak T)$ ser un espacio topológico y deje $A \subseteq X$. Un punto de $x \in X$ está en el límite de $A $si cada conjunto abierto que contiene a $x$ cruza tanto $A$ $X−A$

Answer 1

Recuerde que la definición de $D'$, $D\subseteq X$:

$$D'=\{x\in X/\ \forall V\in \mathfrak T(x\in V\implies \exists d\in D(d\neq x \wedge d\in V))\}$$

(Lo siento por la notación simbólica), vamos a demostrar que $A'\subseteq B'$ si $A\subseteq B$.

Deje $x\in A'$, y tomará las $V\in \mathfrak T$ tal que $x\in V$, ya que el $x\in A'$ existe $a\in A$ tal que $a\neq x$$a\in V$, en particular, si dejamos $b:=a$, podemos ver que $b\in B$ (desde $A\subseteq B$), $b\neq x$ y $b\in V$. Esto demuestra que

$$\forall V\in \mathfrak T(x\in V\implies \exists b\in D(b\neq x \wedge b\in V))$$

por lo $x\in B'$. Desde $x\in A'$ es arbitrario, tenemos que $A'\subseteq B'$.

Answer 2

Si $a_n \to x$, $a_n \in A$ y $a_n \neq x$, entonces también tenemos $a_n \in B$.

Answer 3

Deje $x$ ser un punto límite de $A$. Entonces para cualquier conjunto abierto $U$ $x \in U$ sabemos $$\left[U\setminus \{x\}\right]\cap A \neq \emptyset$$ Since $Un\subconjunto B$ then $$\left[U\setminus \{x\}\right]\cap A \subset \left[U\setminus \{x\}\right]\cap B$$ and hence $$\left[U\setminus \{x\}\right]\cap B \neq \emptyset$$ so every limit point of $Un$ is a limit point of $B$.