Colimit de un sistema directo de monomorphisms

Question

Deje $\mathcal A$ ser un abelian categoría, $\{X_i,f_{ij}\}_{i\leqslant j\in I}$ un sistema directo de $\mathcal A$ tal que para cualquier $i\leqslant j\in I$, $f_{ij}:X_i\to X_j$ es un monomorphism.

Supongamos que el colimit de $\{X_i,f_{ij}\}$ existe, podemos deducir que la estructura morfismos $u_i:X_i\to \varinjlim X_i$ son monomorphisms?

Lo que sé es que tiene al $\mathcal A$ tiene suficiente inyectiva objetos y $I=\mathbb N$.

Answer 1

No necesariamente. Por ejemplo, supongamos $\mathcal{A}$ ser la categoría de finito abelian grupos y tomar el sistema directo de $$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\stackrel{2}{\to}\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\stackrel{2}{\to}\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\stackrel{2}{\to}\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}\stackrel{2}{\to}\mathbb{Z}/32\mathbb{Z}\stackrel{2}{\to}\dots$$

Dado un cocone a partir de este diagrama para un determinado grupo abelian $A$, ten en cuenta que cada elemento de a $\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}$ se debe asignar a un elemento de $A$ que es $2^n$-torsión e infinitamente divisible por $2$. Pero en un número finito de abelian grupo, un elemento debe ser $0$. De ello se desprende que el trivial grupo $0$ es un colimit de este sistema en $\mathcal{A}$.

De hecho, esto no es cierto incluso asumiendo $\mathcal{A}$ tiene suficiente injectives. Por ejemplo,$\mathcal{A}=Ab^{op}$: existe una relación inversa sistema de surjections de trivial abelian grupos tales que el límite inversa es trivial (ver, por ejemplo, el artículo 4 de https://math.berkeley.edu/~gbergman/papers/unpub/emptylim.pdf). Explícitamente, para obtener una inversa del sistema, usted puede tomar una inversa sistema de surjections de vacío conjuntos indexados por $\omega_1$ con vacío límite inversa, y aplicar la libre abelian grupo functor.