¿Por qué la ecuación de $x^2\equiv2 \pmod 5$ no tiene soluciones?

Question

¿Por qué la ecuación de $x^2\equiv2 \pmod 5$ no tiene soluciones?

Hice un resto de la tabla y se encontró que el $$x^2\equiv0;1;4\pmod 5$$

Pero, ¿hay alguna forma de justificar esto además de que?

La ecuación original se $2x^2\equiv9\pmod 5$, pero lo tengo a el formulario de arriba.

Answer 1

Lo que usted hizo es: $\,{\rm mod}\ 5\!:\ x\equiv 0,\pm1,\pm2\,\Rightarrow\, x^2\equiv 0,\pm1\not\equiv 2,\,$ un ataque de fuerza bruta análisis de casos.

Sin fuerza bruta: $\,{\rm mod}\ 5\!:\,\ 2\equiv x^2\,\overset{\rm square}\Rightarrow\, 4\equiv x^4\overset{\rm Fermat}\equiv 1,\,$ contradicción.

El último generaliza: es la dirección fácil de Euler Criterio.

Answer 2

Sólo la mitad de los no-cero de los elementos de los números enteros mod $p$ donde $p>2$ es primo, puede tener raíces cuadradas, porque el cuadrado de la función de $x\mapsto x^2$ es un dos-en-uno en función de: $x$ $-x$ ambos tienen la misma plaza.

Answer 3

Observar que cualquier número entero se puede expresar en la forma: $x = 5n+r, 0 \leq r \leq 4$. Por lo tanto el cuadrado $x$: $x^2 - 2 = (5n+r)^2 - 2 = 25n^2+10nr+r^2-2 = r^2-2 \pmod 5$.Pero $r^2-2 \neq 0 \pmod 5$ para las elecciones de $r$ arriba: $0,1,2,3,4$, y esto significa $x^2 = 2\pmod 5$ no tiene solución.

Answer 4

Para un alto nivel de respuesta, por parte de uno de los suplementos para la reciprocidad cuadrática, si $p$ es un extraño primo, entonces $2$ es un cuadrado mod $p$ $\iff$ $p \equiv 1,7 \pmod{8}$, que $5$ no lo es.

Answer 5

La mejor manera es lo que han hecho.

1. Primera nota de que, dado cualquier $x$, tenemos

$x\equiv 0\pmod5 \text{ or }x \equiv 1\pmod5 \text{ or }x \equiv 2\pmod5 \text{ or }x \equiv 3\pmod5 \text{ or }x \equiv 4\pmod5$

2. La próxima nota de que si $x \equiv y\pmod{n}$,$x^2 \equiv y^2\pmod{n}$. Por lo tanto, tenemos que

   • Si $x \equiv 0 \pmod5$,$x^2 \equiv 0^2 \pmod5 \equiv 0 \pmod5$.
   • Si $x \equiv 1 \pmod5$,$x^2 \equiv 1^2 \pmod5 \equiv 1 \pmod5$.
   • Si $x \equiv 2 \pmod5$,$x^2 \equiv 2^2 \pmod5 \equiv 4 \pmod5$.
   • Si $x \equiv 3 \pmod5$,$x^2 \equiv 3^2 \pmod5 \equiv 4 \pmod5$.
   • Si $x \equiv 4 \pmod5$,$x^2 \equiv 4^2 \pmod5 \equiv 1 \pmod5$.

Por lo tanto, sólo podemos tener $x^2 \equiv 0,1,4\pmod5$.