Una pregunta sobre campos algebraicamente cerrados

Question

Un campo $\mathbb{K}$ se dice que algebraicamente cerrado en la práctica si todo polinomio sobre $\mathbb{K}$ de grado positivo menor o igual a $10^{10}$ tiene una pertenencia nula $\mathbb{K}$ . La pregunta que surge es: ¿es posible que un campo algebraicamente cerrado en la práctica no lo sea?

PS. La cuestión sigue abierta en la característica 0.

Answer 1

Permítanme ampliar la respuesta de Dustan Levenstein en los comentarios: dentro del cierre algebraico $\overline{\mathbb{F}_p}$ de $\mathbb{F}_p$ , considere la unión $K = \bigcup_i \mathbb{F}_{p^{(N!)^i}}$ , para $N = 10^{10}$ . Como se trata de una unión anidada, $K$ es un campo. Si $f(x) \in K[x]$ es un polinomio de grado $\le 10^{10}$ entonces $f(x) \in \mathbb{F}_{p^{(N!)^i}}[x]$ para algunos $i$ (ya que $f$ tiene un número finito de coeficientes). Fijando $q = p^{(N!)^i}$ tenemos que $f(x) \in \mathbb{F}_q[x]$ tiene un factor irreducible de grado $\le 10^{10}$ y, por tanto, se divide en $\mathbb{F}_{q^(N!)} = \mathbb{F}_{p^{(N!)^{i+1}}} \subseteq K$ .

Sin embargo, $K$ no es algebraicamente cerrado - si $q > N!$ es primo, entonces $\mathbb{F}_{p^q} \not \subseteq K$ . Si lo fuera, entonces $\mathbb{F}_{p^q} \subseteq \mathbb{F}_{p^{(N!)^i}}$ para algunos $i$ (ya que $\mathbb{F}_{p^q}$ es un campo finito), pero $\mathbb{F}_{p^d} \subseteq \mathbb{F}_{p^e}$ si $d \mid e$ .

Answer 2

Esta es una construcción que funciona de forma característica $0$ . En realidad sólo estoy ampliando la estrategia sugerida por rschwieb, así que espero que sea una respuesta seria.

Dado $N$ (en este caso $10^{10}$ ), llame a un subcampo $K\subseteq\mathbb{C}$ un campo "pequeño" si hay una cadena de campos $$\mathbb{Q}=K_0\subseteq K_1\subseteq\dots\subseteq K_n=K$$ donde el grado de la extensión $K_{i+1}/K_i$ es menor o igual que $N$ para todos $i$ .

Si $$\mathbb{Q}=L_0\subseteq L_1\subseteq\dots\subseteq L_m=L$$ es otra de estas cadenas, donde $L_{i+1}=L_i(\gamma_i)$ es una extensión simple (lo que podemos asumir, ya sea utilizando el hecho de que toda extensión finita de campos de característica $0$ es simple, o de forma más elemental refinando la cadena de campos para adosar un elemento a la vez) entonces también lo es $$\mathbb{Q}=K_0\subseteq K_1\subseteq\dots\subseteq K_n\subseteq\langle K, L_1\rangle\subseteq\dots\subseteq\langle K,L\rangle,$$ desde $$[\langle K,L_{i+1}\rangle:\langle K,L_i\rangle]=[\langle K,L_i\rangle(\gamma_i):\langle K,L_i\rangle]\leq [L_i(\gamma_i):L_i]=[L_{i+1}:L_i]\leq N,$$ (porque el polinomio mínimo de $\gamma_i$ en $\langle K,L_i\rangle$ divide su polinomio mínimo sobre $L_i$ ), y por inducción la unión de campos finitamente pequeños es pequeña, y la unión de todos los campos pequeños es un campo $\mathbb{K}$ .

Si $\alpha\in\mathbb{C}$ es una raíz de un polinomio $p(t)$ de grado inferior o igual a $N$ en $\mathbb{K}$ entonces todos los coeficientes de $p(t)$ están contenidas en algún pequeño campo $K$ y el grado de $K(\alpha)$ en $K$ es menor o igual que $N$ Así que $K(\alpha)$ es pequeño, por lo que $\alpha\in\mathbb{K}$ . Por lo tanto, $\mathbb{K}$ es "algebraicamente cerrado en la práctica".

Dejemos que $p$ sea un primo mayor que $N$ y que $\beta\in\mathbb{C}$ sea un número algebraico cuyo polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ tiene grado $p$ . Entonces $\beta$ está contenida en un campo no muy pequeño, por lo que $\mathbb{K}$ no es algebraicamente cerrado.

Answer 3

Fenómenos como éste pueden ocurrir.

Para ver esto, podemos dar un paso de bebé y tratar de $2$ antes de intentar $10^{10}$ . Existen campos denominados campos cerrados cuadráticamente para el que cada elemento tiene una raíz cuadrada. Usando esto, se puede reescribir cualquier polinomio mónico de grado $2$ en la forma $(x+a)^2-b$ completando el cuadrado. Entonces, es un factor en $((x+a)-b')((x+a)+b')$ Después de que usted tiene una raíz en el campo. Así que para este tipo de campo, todos los polinomios de grado no mayor que $2$ tienen una raíz.

Como se sugiere en los comentarios, es posible que se pueda tomar un campo, mirar la torre de extensiones sobre el campo que dividen polinomios de grados bajos, y argumentar que la unión es algebraicamente cerrada en la práctica.