Perdona si este no es el lugar adecuado para ponerlo. Pero esta pregunta viene de un libro de texto de nivel de postgrado y parece bastante difícil para mí, así que espero que este es un buen lugar.
De todos modos, esto viene del libro Real analysis for graduate students (Bass). Obsérvese que en este libro se trata principalmente de funciones de valor real.
Del ejercicio 10.1:
Una secuencia de función medible $f_{n}$ es Cauchy en medida si para cualquier $a,\epsilon>0$ entonces existe un $N$ tal que para todo $m,n\geq N$ entonces $\mu(\{x:|f_{n}(x)-f_{m}(x)|>a\}<\epsilon$ .
Una secuencia de función medible $f_{n}$ convergen en medida a lo medible $f$ si para cualquier $a,\epsilon>0$ entonces existe un $N$ tal que para todo $n\geq N$ entonces $\mu(x:|f_{n}(x)-f(x)|>a\}<\epsilon$ .
Ahora esta pregunta pide que, dada cualquier secuencia que es Cauchy en medida, demuestre que debe converger en medida.
Como puede ver, la pregunta no especifica ninguna función $f$ para converger en medida a, por lo que asumo que "converger en medida" significa "converger en medida a $f$ para alguna medida $f$ ". Dado que la definición de converger en medida requiere una $f$ El primer paso sería adquirir uno de alguna manera.
Esto es lo que tengo hasta ahora:
Construyendo $f$ mediante una operación aritmética finita sobre estos $f_{n}$ también fallan. Estos $f_{n}$ puede permanecer en el ámbito de los racionales y $f$ puede seguir siendo irracional.
Construyendo $f$ a través de un fallo de límite puntual. La secuencia puede divergir puntualmente en todas partes y seguir teniendo un $f$ para converger por medida a.
Todos los teoremas del libro ya suponen la existencia de $f$ Por lo tanto, no son de ninguna ayuda.
Estos $f_{n}$ puede ser ilimitado, o incluso no integrable, pero un $f$ todavía existen. Y $\mu$ no está obligado a ser $\sigma$ -finito (edición: he descubierto que el problema es reducible al caso de la medida finita; pero todavía no puedo acotar las funciones). Así que esto básicamente tirar una llave en cualquier método que tratan de utilizar la integración.
"Promedio" (es decir $f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i}(x)}{n}$ ) también fallan, ya que pueden producir el $f$ .
Si $f$ existe, es única bajo la relación equivalente de casi siempre igual.
Estoy en el límite de mi ingenio aquí, lo que es con toda la técnica inutilizada.
Ahora mismo estoy intentando esta dirección, pero no tengo muchas esperanzas en esto:
Definir $d([f],[g])=\min\{\epsilon:\mu(\{x:|f(x)-g(x)|>\epsilon\})\leq\epsilon\}$ donde la clase de equivalencia se debe a la relación de igualdad-casi-todo. Esto no está completamente bien definido, ya que el conjunto que toma el mínimo puede estar vacío. Sin embargo, el uso de la propiedad de Cauchy en la medida nos permite llegar a un punto de la secuencia en el que podemos generar un espacio métrico que contenga toda la función restante en la secuencia; además, la secuencia sería entonces Cauchy en esta métrica también. Ahora bien, si yo fuera capaz de demostrar que este espacio métrico es completo de una manera que no me exija demostrar la pregunta original, entonces puedo utilizarlo para hacer el problema. Sin embargo, este espacio claramente no es compacto, así que esa es una técnica de prueba fuera (edición: espera, este espacio está totalmente acotado; así que si es completo, debería ser compacto. Aún así, no estoy seguro de cómo demostrar que es compacto) (edición: no importa, en realidad no está totalmente acotado, sólo lo definí demasiado pequeño).
EDIT: Estoy investigando la posibilidad de filtrar una subsecuencia que converja puntualmente en casi todas partes. Sin embargo, parece que hay muchos posibles subsecuencia que puede converger a muchas funciones diferentes. Así que no hay mucha esperanza aquí, pero estoy tratando de ver si se puede demostrar que todas estas funciones son iguales en casi todas partes.
¿Alguien puede arrojar luz sobre esto? Cualquier ayuda se agradecería. Muchas gracias.
