Se afirma que un incontable producto de $[0,1]$ no es secuencialmente compacto, por ejemplo, en la Wikipedia (creo que la sustitución de $[0,1]$ $\{0,1\}$ no hace mucha diferencia). Sin embargo, las construcciones vi tomar siempre una multitud innumerable de la misma cardinalidad como los reales. Así que me pregunto si $\{0,1\}^{\omega_1}$ también es secuencialmente compacto, y si sí, si uno puede construir explícitamente una secuencia sin convergente larga. La construcción de una secuencia en $\{0,1\}^\mathfrak{c}$ no requiere de elección, de qué se necesita alguna forma de elección para decir algo acerca de la $\{0,1\}^{\omega_1}$?
Respuesta
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Una familia $\mathscr{S}\subseteq[\omega]^\omega$ es una división de la familia si para cada uno de los infinitos $A\subseteq\omega$ hay un $S\in\mathscr{S}$ tal que $A\cap S$ $A\setminus S$ son infinito. La división de número de $\mathfrak{s}$ se define para ser el más pequeño de la cardinalidad de una escisión de la familia. Es fácil demostrar que $\omega_1\le\mathfrak{s}\le 2^\omega=\mathfrak{c}$. Teorema $6.1$ de Eric K. van Douwen, 'Los Enteros y Topología", en El Manual de Conjunto de la teoría de la Topología, K. Kunen y J. E. Vaughan, eds., El norte de Holanda, $1985$, dice que
$$\begin{align*} \mathfrak{s}&=\min\{\kappa:\{0,1\}^\kappa\text{ is not sequentially compact}\}\\ &=\min\{\kappa:\text{there is a compact space of weight }\kappa\text{ that is not sequentially compact}\}\\ &=\min\{\kappa:\text{there is a ctbly cpt space of weight }\kappa\text{ that is not sequentially compact}\}\;. \end{align*}$$
Si $\kappa$ $\lambda$ son habituales de los cardenales con $\omega_1\le\kappa\le\lambda$ es consistente con $\mathsf{ZFC}$ que $\mathfrak{s}=\kappa$$2^\omega=\lambda$; esto es (parte de) el Teorema de $5.1$ de la misma monografía.
En definitiva, se $\{0,1\}^{\mathfrak{c}}$ nunca es secuencialmente compacto, sino $\{0,1\}^{\omega_1}$ puede ser, constantemente.
