Es $\sum\limits_{n=1}^\infty \sin{\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$ convergente?

Question

$$\mbox{Es}\quad \sum_{n=1}^\infty \sin\left(\left[-1\right)^{n + 1} \over n\right) \quad\mbox{ convergente ?.}$$

$$\mbox{sé que }\quad\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\quad \mbox{es convergente.}$$

$\frac{\sin x}x$ va a 1 cuando x va a $0$. Así que creo que la serie debería ser convergente, pero no puedo demostrarlo rigurosamente.

Answer 1

Sí. El seno es una función impar, de modo que su suma es simplemente:

$$\sum_n (-1)^n\sin \left({1\over n}\right)$$

que converge por la alternancia de la serie de prueba.

Answer 2

Sugerencia:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\sin\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\sin\frac{1}{n}$$

Answer 3

Desde $$\sum_{n=1}^\infty\sin\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\sin\frac{1}{n},$$ esta es una alternativa de la serie. A partir de la monotonía (disminución) de $\sin\frac{1}{n}$ y el límite de $$\lim_{n\to\infty}\sin\frac{1}{n}=0,$$ vemos que la serie es convergente.