Hola a todos me gustaría saber si el siguiente argumento es el sonido.
Definiciones: Un número real x se dice que ser positivo si puede ser escrito como una formal de límite de una secuencia de Cauchy de números racionales $(x_n)$ cual es positivamente apartó desde cero, es decir, $\,x_n\ge c$ para cada n, donde $c$ es un número racional positivo.
La proposición: Dados cualesquiera dos números reales $x<y$, podemos encontrar un número racional $q$ tal que $x<q<y$.
Prueba:
Bastará con encontrar dos números racionales tales que $x\le q_1<q_2 \le y$, debido a que podemos definir $q= \frac{q_1+q_2}{2}$ y hemos terminado.
Vamos $(a_n)_{n=1}^{\infty}$, $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ ser de Cauchy secuencias de tal manera que sus límites formales, el número real $y$ $x$ respectivamente.
Desde $y-x$ es un número real positivo, existe un número racional positivo $c$ tal que $y-x>c$. Deje $\,\epsilon= c/6$. Entonces existe suficiente grande $N_{\epsilon}\in \mathbb{N}$ tal que: $|a_n-a_m|\le \epsilon$, $|b_n-b_m|\le \epsilon$ se produce de forma simultánea para todos los $n,m\ge N_{\epsilon}$. Por otra parte la secuencia de $(a_n-b_n)$ finalmente es mayor que $c$, vamos a $M$ ser el número natural tal que $ a_n-b_n \ge c$ todos los $n\ge M$. Nos pusimos $N =max(N_{\epsilon}, M)$. Ahora vamos a corregir algunos $n_0$ tal que $n_0\ge N$. Entonces claramente $|y - a_{n_0}|\le c/6$ $|x-b_{n_0}|\le c/6$ al mismo tiempo.
Pretendemos que $a_{n_0}-\frac{c}{6}$ $b_{n_0}+\frac{c}{6}$ tiene la propiedad deseada. No es difícil ver que ambos son números racionales, se sigue inmediatamente por la construcción así que, vamos a mostrar que $a_{n_0}-\frac{c}{6}\le y$, $x\le b_{n_0}+\frac{c}{6}$ y $a_{n_0}-\frac{c}{6}>b_{n_0}+\frac{c}{6}$.
Ya sabemos que $|y - a_{n_0}|\le c/6$, lo $a_{n_0}-c/6\le y \le a_{n_0}+c/6$ como se desee. Un argumento similar muestra que $x\le b_{n_0}+c/6$. Para concluir la prueba de que nuestra tarea es mostrar a $b_{n_0}+c/6<a_{n_0}-c/6$. Se argumenta por contradicción, supongamos $b_{n_0}+c/6\ge a_{n_0}-c/6$$c/3\ge a_{n_0}-b_{n_0}$. Pero desde $n_0\ge N$, se deduce que el $a_{n_0}-b_{n_0}\ge c$ y, a continuación, $c/3\ge c$ una contradicción.
Definimos $q$ como media de $a_{n_0}-\frac{c}{6}$ $b_{n_0}+\frac{c}{6}$ y hemos terminado.
Agradecería cualquier sugerencia. Gracias de antemano. :)
