Factorizando Cuadráticas: Asterisco Método

Question

Le estoy enseñando a mis alumnos acerca de factorizando cuadráticas. Hemos hecho GCF, la diferencia de dos cuadrados, el cuadrado de binomios, y la agrupación. Uno de mis colegas, a continuación, encontrar este asterisco método en línea.

Es, básicamente, el método de agrupación, pero se presenta en un poco diferente de la luz. ¿Alguien ha visto o usado? Mis jefes prefieren el aprendizaje de adivinar y comprobar el método o el método de agrupación, pero si el factor de un CGF antes, este método funciona para todos ellos. Me gustaría que mis alumnos sean capaces de reconocer los casos especiales y no tener que recurrir a ningún trabajo si ven $a^2x^2-c^2$ o si ve $(ax)^2+2abx+b^2$, pero si ellos están luchando con los y puede agarrar este método, habría alguien de aquí el uso de este método?

Answer 1

Es bastante ingenioso método, que va a resolver la mayoría de los mismos problemas que la factorización por agrupación va a resolver. Utilizando el ejemplo en el video, por el contrario, podemos proceder de la siguiente manera: $$\begin{align}12x^2-5x-2 &= 12x^2+(3-8)x-2\\ &= 12x^2+3x-8x-2\\ &= 3x(4x+1)-2(4x+1)\\ &= (4x+1)(3x-2).\end{align}$$

Tiendo a preferir completando el cuadrado de su utilidad general, pero para el "bien factorable" trinomios, el asterisco método funciona bien.

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Agregado: Como usted señala, el método fallará por diferencias de cuadrados con un factor común, a menos que usted saque el GCF primera. Que es un inconveniente de este método, como se opuso a la factorización por agrupación, que no requiere de nosotros para sacar el GCF primera.

Answer 2

En Cómo factorizar el polinomio cuadrático $2x^2-5xy-y^2$?

Puedo demostrar que, para $a x^2 + b x + c,$ con discriminante $\Delta = b^2 - 4 a c,$ el dado cuadrática factores si y sólo si $\Delta$ es un (no negativo) de la plaza. Si es así, tenemos la garantía de ser capaz de factor de $$ a x^2 + b x + c = (a_1 x + c_1)(a_2 x + c_2) $$ comenzando con $$ a_1 = \gcd \left( \; a, \; \frac{b + \sqrt \Delta}{2} \right), $$ next taking $a_2 = a_1.$

Tal vez usted puede hacer algo con eso.

EEDDDDIIIITTTT:

$$ a x^2 + b x + c = \; \left(a_1x+ \left( \frac{b - \sqrt \Delta}{2a_2} \right) \right) \; \; \left(a_2x+ \left( \frac{b + \sqrt \Delta}{2a_1} \right) \right) \; $$ en números enteros.

$$ 24929 x^2 + 15966 x - 10403. $$

$$ \Delta = 15966^2 - 4 \cdot 24929 \cdot(-10403) = 1292258704 $$ $$ \sqrt \Delta = 35948 $$ $$ \frac{b + \sqrt \Delta}{2} = 25957 $$ $$ \gcd (24929, 25957) = \gcd ( 24929, 1028) = \gcd ( 1028, 257) = 257. $$ $$ a_1 = 257.$$ $$ a_2 = 24929/257 = 97.$$ $$ c_1 = \frac{b - \sqrt \Delta}{2a_2} = \frac{15966 - 35948}{2 \cdot 97} = -103 $$ $$ c_2 = c / c_1 = 101. $$ O $$ c_2 = \frac{b + \sqrt \Delta}{2 a_1} = \frac{25957}{257} = 101, \; \; \; c_1 = c / c_2 = -10403 / 101 = -103. $$ $$ 24929 x^2 + 15966 x - 10403 = (257 x - 103)(97 x + 101). $$