Deje $P(x)$ ser una función polinómica de coeficientes reales con la siguiente propiedad: $$P(x)+P'''(x)\geq P'(x) + P''(x) $$ a continuación, $$P(x)\geq0 \quad \forall x\in \mathbb R $$
He intentado escribir el polinomio en su forma expandida y la cancelación de los términos, sin ningún éxito real. Gracias por tu ayuda.
Hmm, un poco lejos-fatched respuesta:
La inicial de la desigualdad vuelve a escribir como $P'''-P''\geq P'-P$. Dejando $Q=P'-P$, los rendimientos de $Q''\geq Q$.
La adición de $Q'$ en ambos lados, $Q''+Q' \geq Q'+Q$.
Dejando $R=Q'+Q$ tenemos $R'\geq R$. Multiplicando por la cantidad positiva $e^{-x}$ rendimientos $$R'e^{-x}-Re^{-x}\geq 0$$
que reescribe como $$\frac{d}{dx}\left(R e^{-x}\right)\geq 0$$
La función de $x\mapsto Re^{-x}$ es por lo tanto el aumento. Además, desde el $R$ es polinomial, $\lim_{\infty }Re^{-x} = 0$.
Un continuo aumento de la función que va a $0$ $\infty$ debe $\leq 0$.
Por lo tanto $Re^{-x}\leq 0$$R\leq 0$.
Pero $R = Q'+Q = P''-P'+P'-P = P''-P$.
Por lo tanto $P''\leq P$.
Vamos a realizar el mismo truco una vez más. Dejando $S= P'+P$, la última desigualdad de los rendimientos de $S'\leq S$, por lo tanto $\frac{d}{dx}\left(S e^{-x}\right)\leq 0$.
Las funciones de $x\mapsto S e^{-x}$ es, por tanto, la disminución continua, y se va a $0$$\infty$. Por lo tanto $S e^{-x}\geq 0$$S\geq 0$.
Esto significa $P'+P\geq 0$, por lo tanto $\frac{d}{dx}\left(P e^{x}\right)\geq 0$.
Las funciones de $x\mapsto P e^{x}$ es creciente y va a $0$$-\infty$.
Por lo tanto $P e^{x} \geq 0$$P\geq 0$.
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