Me interesan las órbitas periódicas de sistemas mecánicos de dinámica de segundo orden sin amortiguación, es decir gobernado por una ecuación del tipo \begin{equation}(1)\quad \ddot x + f(x)=0 \end{equation} para $x\in\mathbb R^n$ donde $f$ es una función (suave) no lineal. En particular, estoy tratando de entender por qué aparentemente siempre forman una bidimensional en el espacio de fase (a menudo denominado en mecánica "modo normal no lineal").
Teorema del colector central Apliquemos el teorema del colector central a $(1)$ en los alrededores de $0$ . Para ello, escribimos la linealización de $(1)$ en la forma de primer orden $$ \dot X = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -J_f(0) & 0 \end{bmatrix} X + \begin{bmatrix}0 \\ -f(0) \end{bmatrix}:=AX+b\quad \text{with}\quad X=\begin{bmatrix} x \\ \dot x\end{bmatrix}$$ desde $f(x)\approx f(0) + J_f(0)x$ . El teorema del múltiple central afirma que los valores propios de la matriz $A$ determina 3 subespacios (generalizados) $E_s$ , $E_c$ y $E_u$ correspondientes a los eigenspaces de los valores propios de la parte real negativa (estable), de la parte real nula (central) o de la parte real positiva (inestable), respectivamente.
Los valores propios de $A$ son las raíces de $\det(A-XI_{2n})=\det(X^2 I_n + J_f(0))$ . Así que si $\lambda$ es un valor propio de $A$ entonces $-\lambda$ también es un valor propio.
Pongamos un ejemplo concreto.
Ejemplo concreto en el caso lineal Considere \begin{align} \ddot x_1 + \omega_1^2 x_1 = 0 \\ \ddot x_2 + \omega_2^2 x_2 = 0 \end{align} Entonces $$ J_f(0) = \begin{bmatrix} \omega_1^2 & 0 \\ 0 & \omega_2^2 \end{bmatrix}$$ y las raíces de $\det(X^2 I_2 + J_f(0))=(X^2+\omega_1^2)(X^2+\omega_2^2)$ son $\pm i \omega_1$ y $\pm i \omega_2$ . Van por pares de complejos conjugados, y sus partes reales son cero. Por lo tanto, son dos variedades de centro de dimensión 2 (aquí, planos porque las ecuaciones son lineales). En este conocido caso, se sabe que las soluciones son periódicas $x_i=A_i\cos(\omega_i t)+B_i\sin(\omega_i t)$ : todas las trayectorias del colector central son periódicas.
Añadir una no linealidad Ahora bien, si al ejemplo lineal anterior le añadimos una no linealidad, el teorema del múltiple central implica que habrá dos múltiples centrales, tangentes a los dos planos y de la misma dimensión, es decir, 2.
Volviendo a la ecuación general no lineal El teorema del centro de la colmena implica que una solución de $(1)$ está en el estable, en el inestable o en un colector central. Las soluciones periódicas sólo pueden estar en el centro de la colecta, de lo contrario convergerían a 0 o divergirían. Pero el colector central puede, a priori, contener órbitas estables, inestables o periódicas. Mi pregunta es, ¿por qué, o bajo qué condiciones, el colector de soluciones periódicas es exactamente de dimensión 2? (según los numerosos ejemplos de la bibliografía) ¿Por qué no es una curva simple en el colector central bidimensional, por ejemplo? Una pista podría ser que es tangente a la colector central del sistema linealizado, que es un plano formado sólo por órbitas periódicas. Pero la prueba no está clara para mí.
