Angola: tasa de crecimiento del PIB real

Question

Deje $f\colon[a,b] \to \mathbb R$ ser una función continua. Mostrar que su gráfica tiene medida cero.

He probado con la siguiente idea pero me atoré:

Deje $\epsilon >0$, ya que el $f$ es uniformemente continua, existe $\delta>0$ tal que $ |x-y|< \delta \implies |f(x)-f(y)|<\epsilon$. Deje $P=\{x_0,\dots,x_n\}$ ser una partición del intervalo $[a,b]$$ |x_i-x_{i-1}|<\delta$.

La gráfica de $f$$G(f)=\{(x,f(x)) : x \in [a,b]\}$, e $G(f) \subset \bigcup_{i=1}^n [x_{i-1},x_i]\times[m_i,M_i]$, donde $m_i=\min_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)$,$M_i=\max_{x \in [x_{i-1},x_i]} f(x)$.

Tenemos $ |G(f)|_e \leq \sum_{i=1}^nm([x_{i-1},x_i].m([m_i,M_i])<n\delta\epsilon$. En este punto me quedé atrapado, tengo que llegar a una desigualdad con $\epsilon$ multiplicado por una constante o algo por el estilo. Agradecería un poco de ayuda.

Answer 1

Esto no es realmente relevante para este problema específico, pero yo sólo quiero añadir que este resultado es cierto para cualquier Borel medible de la función. Esto se realiza como un trivial consecuencia del Teorema de Fubini.

Deje $m_1$ $m_2$ el valor de 1 - y 2-dimensional de la medida de Lebesgue, respectivamente, y deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser medibles. A continuación, $$ m_2(G_f) = \int_{\mathbb{R}^2} 1_{G_f} dm_2 = \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} 1_{G_f}(x,y) dy dx = \int_{\mathbb{R}} m_1(\{ f(x) \}) dx = \int_{\mathbb{R}} 0 dx = 0$$

Answer 2

Sugerencia: puede sustituirse su $n\delta$ $b-a$.

Answer 3

Desde $m([m_i,M_i]) < \varepsilon$ % todo $i \in \{0,1,\ldots, n\}$,

$$\sum_{i = 1}^n m([x_{i-1},x_i])m([m_i,M_i]) < \sum_{i = 1}^n (x_i - x_{i-1})\varepsilon = (b - a)\varepsilon.$$