Ejemplos del segundo teorema de isomorfismo para grupos

Question

Me preguntaba si había alguna aplicación estándar perspicaz del segundo isomorfismo para grupos:

THM: Deja que $G$ sea un grupo con $H, N$ como subgrupos y $N$ normal en $G$ . Entonces $H \cap N$ es normal en $H$ y $\frac{HN}{N} \cong \frac{H}{H\cap N}$ .

He leído algunos posts útiles sobre la intuición del teorema y creo que ahora lo entiendo, pero sigo teniendo problemas para inventar un ejemplo claro. Se agradecería cualquier ejemplo sólido.

Answer 1

En realidad hay muchos ejemplos, a veces trabajando con $\frac{H}{H\cap N}$ no da la respuesta por lo que te verás obligado a utilizar el 2º timbre de isomorfismo. Te daré un ejemplo cuando quieras demostrar que un subgrupo de un grupo soluble es también soluble tomarás tus cocientes como $\frac{H}{H\cap G_{i}}$ donde $G_{i}$ son los términos de la serie abeliana de G