La lotería con cupón de recogida - lo que los precios son justos?

Question

Suponga que hay una lotería donde puedes comprar lotes de 1\$ each. To win the grand price you have to collect $n$ different coupons $C_1, \ldots, C_n$ where $C_i$ occurs with probability $p_i$. You may assume that there are "infinitely" many lots, i.e. the $p_i$ do not change over time and successive drawings are independant. And of course $\sum p_i\le 1$.

Específicamente desea, considere el caso donde el $p_i$ están lejos de ser iguales.

P1: ¿Qué haría el gran premio de la pena si la lotería es justo?

P2: ¿Cuál sería un precio justo para vender un cupón de tipo $C_i$ a otros jugadores? La respuesta obvia $1\over p_i$ parece estar mal, porque en el fin de recoger todos los cupones que uno tiene que comprar tantos lotes de todos modos que es probable encontrar una $C_i$, mientras que haciendo eso (a menos que $p_i\ll p_j$$j\ne i$)

P3: Suponga que dos jugadores han recogido los subconjuntos $A$, $B$ de $\mathcal C=\{C_1, \ldots, C_n\}$ tal que $A\cup B=\mathcal C$. Si colaboran, lo que sería un método justo para compartir el gran premio?

Answer 1

Seguir Ross Millikan comentario de que "los más comunes tienen un valor cero y el valor está en los raros" si el comercio está permitido, entonces (Q1) el gran premio debe ser un valor de $1/p_{min}$ donde $p_{min}$ es el más bajo de la $p_i$.

(P2a) Si hay un solo tipo con que probabilidad, entonces su valor es arbitrariamente cerca de el valor de el gran premio, y cada tipo tiene un valor arbitrariamente cercano a cero.

(Q2b) Si hay un $k$ tipos con la misma probabilidad mínima, a continuación, sus valores son arbitrariamente cerca de el valor de el gran premio dividido por $k$.

(T3) deben compartir el premio en proporción al número de mínima probabilidad de cupones que tienen.