¿En qué sentido son campos de una teoría algebraica?

Question

Ya que no hay "campo libre generado por un conjunto", parece que

1) no hay ninguna mónada en el Conjunto cuyo álgebras son exactamente los campos

y

2) no hay Lawvere teoría cuyos modelos en Conjunto son exactamente los campos

(1) y 2) ¿correcto?)

Los campos no se forman una gran variedad de álgebras en el sentido de álgebra universal desde el campo axiomas no puede ser escrito como identidades (desde el axioma de inversos multiplicativos tiene la restricción de que el elemento no cero).

Supongo que los campos son de una teoría algebraica de una manera más general álgebra universal sentido de ser definido por las operaciones realizadas en un solo conjunto con un conjunto de primer orden de los axiomas.

Es mejor el sentido en que se algebraicas o son campos simplemente no realmente algebraicas en la naturaleza?

Answer 1

Los campos no son algebraicas. Una teoría algebraica, por ejemplo, tiene objetos libres: no están libres de anillos, libre, libre monoids. La libre functor que queda adjunto a la olvidadizo functor a los juegos (bueno, estoy hablando de modelos en Conjunto). Hay, sin embargo, no hay campos libres.

Se puede extender la idea de una "teoría algebraica" a un "esencialmente teoría algebraica", en la que parcialmente definidos se permiten operaciones (no es claro para mí que los campos de satisfacer a aquellos que ya es necesario especificar el dominio en términos de otras operaciones, mientras que parece que solo se puede especificar el dominio de la inversa como el complemento de un subconjunto). O, tal vez, pero yo lo dudo), se podría definir un campo como Z₂-graduales de la teoría algebraica de donde 0 es en el grado 0 y todo lo demás está en el grado 1. Aquí, una clasificación debe ser considerado simplemente como un sistema de etiquetado.

Alternativamente, uno puede hablar de los prados. Prados algebraicos son las teorías que son versiones modificadas de los campos. En lugar de inversos multiplicativos, hay una única operación i:M → M que satisface la identidad xi(x)x = x. La definición de i(x) = x^-1 para non-zero x, y i(0) = 0 y convierte cualquier campo en un prado. La relación entre los prados y los campos es muy fuerte.

Un arXiv búsqueda arroja 68 referencias (en el momento de la escritura; por alguna razón google no devuelve nada especialmente relevante, incluso cuando se combina con la palabra "campo"). Un destacado nombre es el de Jan Bergstra.

Answer 2

1 y 2 son correctas, por una simple razón. Si C es una categoría de satisfacciones, ya sea 1 o 2, entonces C tiene una terminal de objeto. Pero no hay ningún terminal de objeto en la categoría de los campos (y anillo homomorphisms), porque no hay mapas entre los campos de diferentes características.

Por la misma razón, la categoría de los campos no es, en esencia, teoría algebraica (mencionado en Andrés respuesta). Una esencia teoría algebraica puede ser definida simplemente como una categoría pequeña con límites finitos. Un modelo o álgebra con fines esencialmente teoría algebraica de T es finito el límite de la preservación de functor T --> Conjunto. (Por supuesto, usted puede considerar la posibilidad de modelos en otras límite finito de categorías.) Y la categoría de los modelos de siempre, tiene una terminal de objeto.

Este encarna la idea de que Andrew estaba describiendo, de una teoría donde algunas operaciones sólo están parcialmente definidos, pero (y esto es crucial!) el dominio de definición de la misma es definida por las ecuaciones. Usted puede ver una parte áspera de la conexión entre los límites finitos y esta idea intuitiva si usted considera pullbacks en Conjunto. Un retroceso en Conjunto es, después de todo, el conjunto de pares de satisfacer algunas de ecuación.

No sé en qué sentido la teoría de los campos es algebraico. Es en parte debido a su incapacidad para ser algebraicas en cualquiera de los sentidos usuales que a menudo se elige trabajar con conmutativa anillos en lugar de campos, en la geometría algebraica y teoría de topos, por ejemplo.

Answer 3

Un sentido en el que la categoría de $\mathbf{Fld}$ de los campos es algebraica es de que forma lo Adámek y Rosický llamar a un generalizado de la variedad, de forma más sistemática llamado a $\mathbb{D}$-accesible categoría para la doctrina de la $\mathbf{D}$ finito de productos. Generalizada de variedades algebraicas para categorías como accesible categorías son localmente presentable categorías: por un lado, están los "no-cocomplete" versión. Este parece captar el hecho de que los campos pueden ser definidos con operaciones que son, en total, junto con algunas condiciones que no son de total.

$\mathbf{Fld}$ es sketchable por un (finito, producto, finito subproducto) dibujo (ejemplo 4.3 de la primera enlace de arriba). En principio, esto significa que la teoría de los campos puede ser interpretado en cualquier categoría con finito y productos finitos de co-productos, aunque esto no necesariamente da el "derecho" concepto: por ejemplo, si definimos un campo topológico de esta manera, el elemento de identidad tiene que estar desconectado del resto del campo. Para la comparación algebraicas de las categorías puede ser esbozado por finito de productos; localmente presentable categorías puede ser esbozado por límites finitos, y arbitrario finitely accesible categorías pueden requerir límites finitos así como aribtrary colimits.

De manera categórica álgebra proporciona algunas sentido en el que los campos son un poco más algebraicas de una arbitraria de primer orden de la teoría, incluso si no es una fantástica sensación irresistible.

Answer 4

Como las anteriores respuestas han dicho, los campos no son algebraicas. Ellos no son también esencialmente algebraicas, debido a las categorías de modelos de esencialmente algebraicas teorías tienen un objeto inicial, y la categoría de los campos que tiene un conjunto inicial de objetos -- Z y Z_p para cada primer p. (No hay un mapa de un campo de una característica de un campo de una característica diferente, por lo que no puede haber un único objeto).

Los campos son los modelos de una teoría que es esencialmente algebraicas plus permite la especificación de las disyunciones. En el lenguaje de los bocetos, los campos son los modelos de un "finito suma de croquis." Esto fue demostrado en Diers de la tesis y se explica en detalle en el documento "la descripción formal de los tipos de datos utilizando bocetos" por Charles Wells y Michael Barr, en el volumen 298 de la Springer Lecture Notes in Computer Science, 1988. Para una visión general de los bocetos, consulte "Bocetos: Esquema con las Referencias" en http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/pdf/sketch.pdf .

AÑADIDO el 17 de noviembre de 2009. La categoría de modelos de un número finito de suma teoría no es tan bonito como el de los modelos de una teoría algebraica o incluso, en esencia, teoría algebraica. En general, los más diferentes tipos de cosas que usted puede especificar en un boceto, el más torpe de la categoría de modelos. La categoría de los campos es bastante complicado!
Que no se han filtrado colimits y es cerrado bajo ultraproducts. Campo teóricos han hecho uso considerable del cierre bajo ultraproducts.

Answer 5

Una pequeña observación que podría ser útil también está motivado por el teorema de Birkhoff - en la mayoría de los sentidos usuales, álgebras de la teoría algebraica son cerrados bajo de los productos, de los campos que no son.