Pido disculpas si esto suena estúpido, pero estoy luchando para agarrar el siguiente concepto. Entiendo que el lapso de un conjunto vacío es el vector cero. Sin embargo, lo que hace el conjunto sólo contiene el vector cero span? El vector cero? También, están las siguientes dos frases lógicamente equivalente, "El lapso de un conjunto vacío es el vector cero" y "El conjunto vacío se extiende por el vector cero". Yo creo que hacen pero no quiero hacer suposiciones ya que no estoy del todo seguro de mí mismo. Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esta es una buena pregunta!
En los textos de álgebra lineal que he visto, es generalmente incluido en la definición de un subespacio $S$ que $S$ tiene que contener el cero vector. Esta condición es incluida para el propósito de eliminar el conjunto vacío como un subespacio. (¿Su definición de hacerlo así?)
Pero el lapso de un conjunto siempre es un subespacio, y de hecho, si $L$ es un conjunto, entonces el intervalo de $L$ es el menor subespacio que contiene a $L$. Esta es la razón por la que tiene sentido para el lapso de un conjunto vacío de ser igual a $\{0\}$, debido a $\{0\}$ es el menor subespacio que contiene el conjunto vacío (que en sí no es un subespacio).
También, si el conjunto de $L$ es en sí mismo un subespacio, entonces el intervalo de $L$ es igual a $L$ - el menor subespacio que contiene a$L$$L$. En particular, $\{0\}$ es un subespacio, por lo que el lapso de $\{0\}$$\{0\}$.
Respecto a sus dos declaraciones, yo digo que sí, dicen exactamente lo mismo.
GmonC
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En general, la adición de un conjunto de $S$ de los vectores un vector $v$ que ya está en el intervalo de $S$ no cambia con el tiempo; en otras palabras, en este caso $S\cup\{v\}$ abarca el mismo subespacio como $S$.
Esto se aplica en particular a$S=\emptyset$$v=\vec0$; usted ya se ha indicado que el lapso de un conjunto vacío contiene $\vec0$, y por lo $\emptyset\cup\{\vec0\}=\{\vec0\}$ se extiende por el mismo ($0$-dimensional) el subespacio como el conjunto vacío.
Avi Flax
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No hay preguntas tontas, especialmente en matemáticas por los estudiantes principiantes. (Contrariamente a lo que un destacado investigador le dirá en sus conferencias a hacer que usted se sienta estúpido, para que ningún otro estudiante en la clase, se atreve a preguntar cualquier pregunta no importa cuán confundidos que son-de esa manera,se puede ejecutar fuera de la clase, tan rápido como sea posible para llegar a su verdadero trabajo........lol)
Bromas aparte, tu pregunta es en realidad una muy buena porque muestra que estás prestando atención. Por definición, un subconjunto L de un número finito de dimensiones de espacio vectorial V se extiende un subespacio S de V iff para todos los vectores $u\in S$, existen escalares $a_1,a_2,....a_n$, de modo que con los vectores $v_1,v_2,....,v_n\in L$
$$\sum_{i=1}^n {a_i}{v_i}= u $$
Hay una razón por un montón de álgebra lineal de los textos, incluso los rigurosa, escapar de esta pregunta ya que implica algo pegajoso de la teoría de conjuntos de preguntas. El 2 de declaraciones en mi humilde opinión, no son generalmente lógicamente equivalente-aunque ¿por qué y cuando se es un poco sutil.
Considerar el conjunto vacío. El conjunto vacío es un subespacio trivial, es decir, que satisface las propiedades de ser un subespacio de forma predeterminada. Piense en esto: si no tiene elementos, ¿cómo puede no satisfacer los axiomas de un espacio vectorial cualquiera de es elemento? Debido a una combinación lineal arbitraria con escalares de vectores no devuelve cero vectores,el resultado de esa suma es el cero escalar. Por lo tanto, los componentes de cualquier vector que comprende el conjunto vacío 0 y el único vector que esto es cierto es 0. (Recuerde, el resultado de una suma de vectores,incluso sin vectores,debe ser un vector o no tenemos un espacio vectorial!) Por lo tanto, el conjunto vacío se extiende {0}.
(Usted puede preguntar, bueno, no cualquier espacio vectorial tienen todos cero escalares y esto va a generar el mismo resultado ya que 0u=0 para cualquier vector u? En realidad,no, desde {0} no es un campo por razones que son muy difíciles de discutir aquí-por lo que este no sería un espacio vectorial. )
En el caso de que el vector cero que abarca el conjunto vacío, esto es más complicado. Piense en esto: si el vector cero se extendió $\emptyset$, entonces hay una combinación lineal del vector cero para cada vector en $\emptyset$. Pero por un resultado en álgebra lineal,
$$\sum_{i=1}^n {a_i}{0_i}= 0 $$
Donde 0 es el 0 escalar. Así que a menos que v es un campo donde los escalares y los vectores son intercambiables, tales como los espacios vectoriales de la real o de los números complejos, entonces el vector cero no puede abarcar 0 puesto que el resultado de la suma no es cero vector, pero el cero escalar! Así que la única vez que el 2 declaraciones realmente puede ser equivalente es cuando el espacio vectorial es un campo y los vectores y escalares son intercambiables!
Espero que usted no obtener más confundido con mi explicación. Espero que sea correcto-créeme,los otros carteles se pincho de mí si no lo es. Pero ese es mi entendimiento de la misma.
Actualización: Marc van Leeuwen hizo la siguiente muy críticas razonables: Hay mucho mal aquí. "El conjunto vacío es un subespacio trivial", no, no es un subespacio (el cual debe contener al menos el vector cero). "Debido a una combinación lineal arbitraria con escalares de vectores no devuelve cero vectores,el resultado de esa suma es el cero escalar"; la mezcla de vectores y escalares cero allí. También se trabaja con el conjunto vacío, los "arbitraria escalares" tiene que ser 0 en el número, es decir, ausente. "los componentes de cualquier vector que comprende el conjunto vacío" asume, erróneamente, que los vectores que deben tener los componentes. Parar aquí por el límite de extensión en los comentarios...
Estos problemas son precisamente la razón por la mayoría de los matemáticos tomar {0} como el más pequeño "legal" subespacio vectorial como la intersección de todos los subespacios de V. Que, por supuesto,es perfectamente normal y comprensible de la asunción. Pero algunos matemáticos no porque estrictamente hablando,no hay ninguna razón lógica para ello. Trivialmente,vacío de vectores de tener vacíos los componentes y, por tanto, la discusión anterior.De nuevo,sin embargo,es problemático-que es por qué la mayoría de los matemáticos de hacer esta suposición. Usted puede ver a pesar de que el autor de su texto o su profesor-quienquiera que fuese-NO hacer esta suposición. paw88789 hizo la adicional-y yo creo que es mucho más importante-la crítica de que los axiomas de un espacio vectorial asumir que es un conjunto no vacío, por lo que técnicamente se descarta el conjunto vacío como un espacio vectorial. Creo que la pata de golpear el clavo en la cabeza ¿por qué los matemáticos asumir un espacio vectorial es no vacío-es precisamente para evitar atolladeros como este. Creo que deberías hablar de esto con tu profesor y ver lo que él/ella piensa.
