Supongamos que la serie de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^n$ es convergente cuando $x=-3$, y es divergente cuando $x=20$
Es la serie de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_n (-2)^n$ divergentes?
Es la serie de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} a_n 24^n$ convergente?
Me imagino que podría utilizar una prueba de comparación para la segunda, pero la primera no es positivo, así que no estoy seguro.
Recuerde que la colección de todos los valores de $x$ a que un poder de la serie en torno a $0$ (tal como esta) converge debe ser uno de:
Ahora, usted sabe que esta serie converge en $x=-3$, por lo que no estamos en la primera situación.
Usted también sabe que diverge en $x=20$, por lo que no estamos en la segunda situación.
Así que debemos estar en la tercera situación: el intervalo de convergencia va desde algunos $-R$$R$. Es uno de: $(-R,R)$, $[-R,R)$, $(-R,R]$, o $[-R,R]$. Todo lo estrictamente entre el $-R$ $R$ es un valor en el que la serie definitivamente converge; todo lo de afuera es un valor donde definitivamente se bifurca.
¿Qué sabe usted? Usted sabe que la serie converge en $-3$; lo que significa que $-3$ debe estar dentro del intervalo, o en un extremo de dicho intervalo. Por lo $-R\leq -3$, o lo que es equivalente, $R\geq 3$.
Usted sabe que diverge al $x=20$, lo $20$ está fuera del intervalo. Eso significa que usted debe tener $20\leq R$.
Así sabemos que, sea cual sea el valor de $R$ (el radio de convergencia), es algo entre 3 y 20.
Sin duda, nada de lo que está más cerca de a $0$ $-3$ está en algún lugar que la serie converge; y nada más lejos de la $0$ $20$ es algo en los que la serie diverge.
Eso debería ser suficiente para responder a este problema.
Para un bono de la pregunta: Żqué se puede decir acerca de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(-5)^n$ ?
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