Amplificador de diferencia con 3 Op. Amp. Cómo analizar?

Question

Tengo que demostrar, en el siguiente circuito, que \$ V_o= \left( 1+\frac{2R_2}{R1}\right)(V_2-V_1) \$ si el Bote está en la mitad.

Sé que el circuito en el interior del bloque rosa su Amortiguamiento de las entradas diferenciales y que \$R_1\$ puede ajustar la Ganancia, pero no sé cómo Op. Amp. 3 está participando.

Con el fin de facilitar el análisis, me separé de la Olla, como se muestra en la imagen de abajo pretender hacer un análisis actual, pero no sé cómo interpretar el voltaje de salida de la 3ª amplificador.

¿Cómo debo interpretar este circuito?

Answer 1

A quién no le gusta un buen y viejo \$Y - \Delta \$ transformar: https://en.wikipedia.org/wiki/Y-Δ_transform ? [EDITAR después de resolver la pregunta: podría no ser necesario].

La calculada valores equivalentes para el \$ \Delta \$ son:

\$R_{eq1} = \frac{R_1R_1+2R_3R_1}{4R_3}\$

\$R_{eq3} = \frac{R_1+2R_3}{2}\$

Los op-amps 1 y 2 han de retroalimentación negativa, así que podemos asumir que no están en la saturación y para ellos \$v_+ = v_- \$.

La actual \$i_2\$ a través de \$R_{2top}\$ es igual a:

\$i_2 = \frac{v_o-v_2}{R_2} = \frac{v_2-v_1}{R_{eq1}}+\frac{v_2-v_{oa}}{R_{eq3}}\$ [1]

La actual \$i_1\$ a través de \$R_{2bot}\$ es igual a:

\$i_1 = \frac{v_1-v_y}{R_2} = \frac{v_2-v_1}{R_{eq1}}+\frac{v_{oa}-v_{1}}{R_{eq3}}\$ [2]

A partir de [1] obtenemos:

\$ \frac{v_{oa}}{R_{eq3}} = \frac{v_2-v_o}{R_2} + \frac{v_2-v_1}{R_{eq1}}+\frac{v_2}{R_{eq3}}\$ [3]

A partir de [2] obtenemos:

\$ \frac{v_{oa}}{R_{eq3}} = \frac{v_1-v_y}{R_2} + \frac{v_1-v_2}{R_{eq1}}+\frac{v_{1}}{R_{eq3}}\$ [4]

Aislar \$ v_{oa} \$

\$ v_{oa} =\frac{R_{eq3}(v_1-v_y)}{R_2}+\frac{R_{eq3}(v_1-v_2)}{R_{eq1}}+v_{1}\$

\$ v_y \$ & \$ v_{oa} \$ tienen signos opuestos en esta ecuación! Así que resulta que hay retroalimentación negativa de \$ v_y \$\$ v_{oa} \$. Esto explica la estabilidad del circuito.

Así, podemos asumir \$ v_y = 0 \$ (este es el gran truco de este ejercicio - de hecho, puede usted comprobar que v_y es 0 en las simulaciones). Así que ahora es más fácil a partir de [3] = [4] y ajuste de \$ v_y = 0 \$ obtenemos:

\$ \frac{v_2-v_o}{R_2} + \frac{v_2-v_1}{R_{eq1}}+\frac{v_2}{R_{eq3}} = \frac{v_1}{R_2} + \frac{v_1-v_2}{R_{eq1}}+\frac{v_{1}}{R_{eq3}}\$

\$ \frac{v_o}{R_2} = \frac{v_2-v_1}{R_2} + \frac{v_2-v_1}{R_{eq1}} + \frac{v_2-v_1}{R_{eq3}}\$

\$ v_o = (v_2-v_1) \left(1 + \frac{R_2}{R_{eq1}} + \frac{R_2}{R_{eq3}}\right)\$

\$ v_o = (v_2-v_1) \left(1 + \frac{4R_3R_2}{R_1R_1+2R_3R_1} + \frac{2R_1R_2}{R_1R_1+2R_3R_1}\right)\$

\$ v_o = (v_2-v_1) \left(1 + \frac{2R2(2R_3+R_1)}{R_1(R_1+2R_3)}\right)\$

\$ v_o = (v_2-v_1) \left(1 + \frac{2R2}{R_1}\right)\$ De ahí la respuesta.

^{simular este circuito – Esquema creado mediante CircuitLab}