Integrar a $\int_0^1 {\frac {x^a-x^b} {\ln x} dx}$

Question

Nos da los parámetros de $a > 0, b > 0$.
La tarea es integrar a que: $\displaystyle \int_0^1 {\frac {x^a-x^b} {\ln x} dx}$.
He intentado acercarse problema desde diferentes ángulos, con suerte. Traté de integración por partes(probado todas las combinaciones posibles $v$$u$), u-sustitución sin suerte.
También traté de integrar estos dos términos similares por separado.

Trató de hacerse una idea de cómo ir de respuesta, tiene buena respuesta de MATLAB: $\displaystyle \ln{\frac{a+1}{b+1}}$, pero ni idea de cómo llegar a ella.

Agradecería algunas sugerencias.

Answer 1

Primer aviso de que: $$I = \int_{0}^{1} \frac{x^b-x^a}{\ln x} dx = \int_{0}^{1} \Big[\int_{a}^{b} x^y dy\Big]dx $$ La función de $f(x,y)=x^y$ es continua en el conjunto $[0,1]\times[a,b]$, por lo tanto:

$$ I= \int_{0}^{1} \Big[\int_{a}^{b} x^y dy\Big]dx = \int_{a}^{b} \Big[\int_{0}^{1} x^y dx\Big]dy = \int_{a}^{b} \frac{1}{y+1}dy = \ln \Big(\frac{b+1}{a+1} \Big)$$

Answer 2

Primero de todo tengo que decir que me gusta user140835 la solución mucho más. Este estricto de la belleza pura de los cálculos matemáticos.
Pero, de un lado, tengo la sensación de que iba a dejar de reconocer la aplicabilidad de este enfoque en problemas similares. De otro lado, quería resolver por mí mismo, con otro enfoque sugerido en los comentarios.

Así que voy a dejar mi solución aquí, en caso de que si va a ser útil para alguien.

La realización de u-sustitución: $u = \frac 1 x$. Por lo tanto $dx = \frac {-du} {u^2}$
$\displaystyle -\int \frac {u^{-a}-u^{-b}}{u^2 ln{\frac 1 u}}du = I\space \Rightarrow \space \frac {dI(a)} {da} = \frac {u^{-a} \cdot ln(u)} {u^2ln{\frac 1 u}}$

Ahora, integrar recibido expresión más de u: $\int_\infty^0 \frac{dI(a)}{da}du=\int_\infty^0 \frac {u^{-a} \cdot ln(u)} {u^2ln{\frac 1 u}}du=-\frac {u^{-(a+1)}} {a+1} |_\infty^0=\frac {-1} {a+1}$.
Ahora tenemos que encontrar la antiderivada de eso, que es $I(a)= -ln(a+1)$.
Siguientes pasos análogos para $I(b)$ obtenemos la respuesta: $log(\frac{b+1}{a+1})$