Si la diferencia simétrica de a $A$ $B$ está contenido en $A$, $A$ contiene $B$

Question

La diferencia simétrica de dos conjuntos de $A$ $B$ es el conjunto $A \vartriangle B = (A \setminus B) \cup (B\setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$. Probar que si $A \vartriangle B \subseteq A$$B \subseteq A$.

Prueba. Supongamos $A \vartriangle B \subseteq A$. Deje $x \in B$ ser arbitraria. Ahora supongamos $x\notin A$. A continuación,$x \in B \setminus A$, lo $x \in A \vartriangle B$. Desde $A \vartriangle B \subseteq A$, se deduce que el $x \in A$. Pero esto contradice el hecho supuesto de que $x \notin A$. Por lo tanto,$x \in A$. Desde $x \in B$ fue arbitraria, podemos concluir que $B \subseteq A$.

Estoy diciendo que $x \notin A$ implica $x \in A$, lo $x \in A$ debe de ser verdad. Es mi prueba por contradicción correcta? Si no, ¿por qué?

Answer 1

Sí, has escrito una prueba válida por la contradicción. Yo sólo sugiero que escribir:

"Vamos a $x \in B$ ser arbitraria. Ahora supongamos que, por el bien de la contradicción, $x \notin A$. Entonces..."

aunque sólo sea para hacer explícito, en el inicio, la dirección y la estructura de la prueba.

Answer 2

Es una prueba válida por la contradicción. He de señalar, sin embargo, que no es necesario hacerlo por la contradicción. Usted puede en lugar de adaptar su prueba de lo que es por contrapositivo.

Empezar asumiendo $B\not\subseteq A$ donde hay algo de $x\in B\setminus A$. Pero $B\setminus A\subseteq A\vartriangle B$; por lo tanto, $x$ es un elemento de $(A\vartriangle B)\setminus A$, lo que demuestra el contrapositivo de la declaración.