Interpretación de las integrales de línea con respecto a $x$ o $y$

Question

Una integral de línea (con respecto a la longitud de arco) puede interpretarse geométricamente como el área bajo $f(x,y)$ a lo largo de $C$ como en la imagen. Se suman las áreas de todos los "rectángulos" infinitesimales formados por $f(x,y)$ y $ds$ .

Lo que me pregunto es cómo interpretar las integrales de línea con respecto a $x$ o $y$ ¿Geométricamente?

Answer 1

Comparemos las definiciones de estos tres conceptos relacionados, pero distintos. Veamos $C$ sea una curva parametrizada con respecto al parámetro $t\in[a,b]$ . Entonces

\begin {Ecuación} \tag {1} \int_C f(x,y)\N-\N-\N-\N-s := \int_a ^b f(x(t),y(t))\N-, \color {Azul}{ \sqrt {[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}}\,dt \end {Ecuación} mientras que \begin {align} \int_C f(x,y)\N-\N-,dx &:= \int_a ^b f(x(t),y(t))\N-, \color {rojo}{x'(t)}\Ndt, \tag {2} \\ \int_C f(x,y)\N-\N-dy &:= \int_a ^b f(x(t),y(t))\N-, \color {verde}{y'(t)}\Ndt. \tag {3} \end {align}

Parece entender la interpretación geométrica de (1): es el área de la "valla" construida a lo largo de la curva $C$ cuya altura a lo largo de cualquier punto $(x,y)$ en $C$ viene dada por $f(x,y)$ . Alternativamente, hay que centrarse en el multiplicador en azul en (1): estamos ponderando el integrando $f(x(t),y(t))$ por el longitud del vector velocidad a lo largo de $C$ .

Por otro lado, en (2), estamos ponderando el integrando sólo por el $x$ componente del vector velocidad.

En (3), estamos ponderando el integrando sólo por el $y$ componente del vector velocidad.

Como ejemplo sencillo, considere $f(x,y)=1$ .

\begin {align} \int_C 1\,ds&= \int_a ^b \sqrt {[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\N-, dt = \text {longitud de }C \\ \int_C 1\,dx&= \int_a ^b x'(t)\N-, dt =x(b)-x(a)= \text {desplazamiento neto en $x$ dirección como $C$ es atravesado} \\ \int_C 1\,dy&= \int_a ^b y'(t)\N- dt =y(b)-y(a)= \text {desplazamiento neto en $y$ dirección como $C$ es atravesado}. \end {align}

Dibuja un ejemplo sencillo de algo como un $S$ curva en forma de $C$ y mira las tres cantidades anteriores en esa configuración.

Editar: He aquí una interpretación gráfica, ciertamente burda, de lo que significan (2) y (3) en el caso particular de que $f(x,y)=1$ (y me doy cuenta de que en la foto $f(x,y)\not= 1$ ).

$\int_C 1\,dx$ corresponde a la línea roja oscura del $x$ eje mientras $\int_C 1\,dy$ corresponde a la línea azul oscuro del $y$ eje.

Answer 2

No puedo dar una interpretación geométrica de la integral de línea con respecto a $y$ en este caso porque el directo de $y$ de un lado a otro cuando $t$ aumentar.

Answer 3

Dada una función $(x,y)\mapsto z=f(x,y)$ y una curva $$\gamma:\quad s\mapsto{\bf z}(s)=\bigl(x(s),y(s)\bigr)\qquad(a\leq s\leq b)$$ parametrizada con respecto a la longitud de arco, la integral $$\int_\gamma f(x,y)\>ds:=\int_a^b f\bigl(x(s),y(s)\bigr)\>ds\tag{0}$$ puede interpretarse de varias maneras. Usted ha optado por interpretarlo como superficie de una "cortina de Christo" $S$ que se muestra a lo largo de $\gamma$ y tener altura $f(x,y)$ en el punto $(x,y)\in\gamma$ .

Ahora quieres una interpretación de la integral

$$\int_\gamma f(x,y)\>dx:=\int_a^b f\bigl(x(s),y(s)\bigr)\>\dot x(s)\>ds\tag{1}$$ en una línea similar.

Desde $\gamma$ se parametriza con respecto a la longitud de arco se tiene $$\dot {\bf z}(s)=\bigl(\cos\theta(s),\sin\theta(s)\bigr)\ ,$$ donde $\theta(s)$ es el ángulo entre el positivo $x$ -y el vector tangente $\dot{\bf z}(s)$ . Así que podemos sustituir $(1)$ por $$\int_\gamma f(x,y)\>dx=\int_a^b f\bigl(x(s),y(s)\bigr)\>\cos\theta(s)\>ds\tag{2}$$ En $(2)$ un "elemento de cortina infinitesimal" ya no pesa con su área $dS=f\bigl(x(s),y(s)\bigr)\>ds$ como en $(0)$ pero con el área $dS'$ de la sombra (o proyección) de este elemento sobre el $(x,z)$ -Avión. Por lo tanto, uno está tentado a decir que $(1)$ representa el área total de la cortina proyectada.

Pero hay algo más: Obsérvese que $\cos\theta(s)$ tiene una señal . Cuando $\cos\theta(s)$ es positivo, entonces la cortina tiene su lado bueno hacia el $x$ -eje, y cuando $\cos\theta(s)$ es negativa su parte trasera. Las últimas partes de la sombra son negativo contado . Del mismo modo, si la misma parte del $(x,z)$ -plano es "sombreado" varias veces por los sucesivos pliegues de la cortina, todos estos "revestimientos" se resumen con su signo propio en $(1)$ , resp. $(2)$ .

Answer 4

Sin embargo, esta no es una respuesta realmente detallada:

Creo que tirar hacia atrás la integral a la $x$ o $y$ es geométricamente antinatural (y tienes que decidir cómo quieres hacerlo, ya que genéricamente $C$ no será un gráfico sobre ninguno de los dos ejes), así que no esperaría una interpretación geométrica realmente buena. Pero podrías hacer algo como lo siguiente Descomponer $C$ en trozos $C_i$ para que cada $C_i$ es un gráfico sobre el $x$ o $y$ y entonces se puede utilizar la regla de la cadena/sustitución para escribir literalmente la integral de línea como una integral con respecto al eje. $x$ o $y$ para cada $C_i$ y esto hace que la relación sea explícita. Esta construcción le da (si $C_i$ es un gráfico de $r(x)$ por ejemplo) algo así como el área bajo la curva $f(x, r(x))\sqrt{1 + r'(x)^2}$ así que no parece muy natural.

Answer 5

Una representación geométrica de una integral de línea respecto a x no sería tomar la superficie cuya área habrías calculado al tomar la integral de línea respecto a la longitud de arco:

http://i.stack.imgur.com/8LVrc.png (la misma imagen en otra respuesta aquí)

y luego proyectar esa superficie en el plano XZ. El área de esa proyección sería esencialmente la representación geométrica de la integral de línea con respecto a x. Una integral de línea con respecto a y sería la proyección de esa misma superficie sobre el plano YZ. Las proyecciones serían como ver esa superficie en la imagen de arriba sólo a través del plano XZ y luego a través del plano YZ. ¿Es esta una interpretación correcta? Lo siento, soy nuevo aquí por lo que no he podido poner la imagen en mi post, así que sólo pongo el enlace.