La existencia de una sección de no-cero de la medida

Question

Deje $X$ $Y$ se puede medir los espacios, y $A \subseteq X\times Y$ es un subconjunto medible de el espacio del producto. Para cualquier $y\in Y$ deje $A_y = \{x\in X: (x,y)\in A\}$ $y$- sección de $A$. En virtud de la cual la condición para cualquier probabilidad de medida $p$ $X$ existe $y\in Y$ tal que $p(A_y) > 0$?

Motivación: yo estaba pensando en un juego de suma cero con una rentabilidad de $(p\otimes q)(A)$, y sería como considerar los casos, cuando ninguno de los jugadores puede arreglar esta medida a los ser $0$ $A$ sólo por la elección de su propio marginal medida.

Lo que yo hice: Por simplicidad, supongo que cualquier singleton es medible. Condición necesaria es que la $A$ tiene la plena proyección, de lo contrario puede poner $p$ a ser un Dirac medida fuera de la proyección de $A$. Además, permitir a los del sat que $A$ tiene un countably completo de la proyección de la propiedad (UCC) si existe $y_1, y_2, \dots\in Y$ tal que $\bigcup_n A_{y_n} = X$. Claramente, UCC es una condición suficiente, por ejemplo, si $X$ es Lindelof y $A$ tiene plena proyección y secciones abiertas. Esta condición no es necesaria, aunque. Por ejemplo, considere el $X = Y = [0,1]$, y deje $A_y = F + y$ donde $C$ es un lugar denso conjunto con el positivo de la medida de Lebesgue. Aquí $+$ es cíclica cambio, además de más de $[0,1]$. Entonces cualquier contables de la unión de $A_y$ es denso en ninguna parte, de nuevo, por lo tanto nunca $X$ sí. Al mismo tiempo, uno puede usar el teorema de Fubini para mostrar la propiedad deseada.

¿Qué puedo esperar de la recompensa: respuesta a la pregunta original - en Virtud de la cual la condición para cualquier probabilidad de medida $p$ $X$ existe $y\in Y$ tal que $p(A_y) > 0$? Estoy buscando un completo/parcial caracterización además de el hecho de que ya se dijo aquí, o una referencia sobre el tema.

Answer 1

Tengo algunas no muy marcada ideas que pueden ayudar a alguien a obtener la recompensa.

Tengo dos enfoques a la condición suficiente.

La primera es mostrar que la familia $\mathcal A=\{A_y: A_y$ es un subconjunto medible de $X\}$ es lo suficientemente grande. Por ejemplo, el Teorema de 17.10 de la "Clásica Descriptivo de la Teoría de conjuntos" por Alexander S. Kechris, implica que para cada probabilidad de medida de Borel $p$ en un espacio metrizable $X$ y cada conjunto medible $M\subset X$ que $p(M)>0$ existe un subconjunto cerrado $N'$ del conjunto de $M$ tal que $p(N')>0$. Parece que se puede quitar de la $N$ un denso abierto (en $X$) subconjunto $D$ con una pequeña medida, por lo que se obtiene un conjunto de $N=N'\setminus D$ será cerrado a ninguna parte densa subconjunto del espacio de $X$ tal que $p(N)>0$. Así, la condición suficiente sería "cada cerrados en ningún subconjunto denso $N$ del espacio $X$ puede ser cubierto por una contables de la subfamilia de la familia de las $\mathcal A$". Podemos reforzar este resultado si el conjunto de $N$ $p(N)>0$ puede ser elegido incluso más pequeño (en algún sentido).

El segundo se basa en el Teorema de Fubini y parece ser una generalización de Ejemplo construido por Ilya y PhoemueX.

Para cada punto de $x\in X$ deje $A^x = \{y\in Y: (x,y)\in A\}$ $x$- sección de $A$. Deje $q$ ser una medida de probabilidad en $Y$. Desde $A$ es un subconjunto medible de el espacio del producto $X\times Y$, para casi todos los puntos de $x\in X$ $y\in Y$ los conjuntos de $A^x$ $A_y$ son medibles y

$$ \int_Y p(A_y)dq(y)=\int_{X\times Y} 1_A dp(x)dq(y)= \int_X q(A^x)dp(x).$$

Si $p(A_y)=0$ por cada $y$, a continuación, el lado izquierdo es igual a $0$ si $q(A^x)>0$ por cada $x$, entonces el lado derecho es mayor que $0$ y se obtiene una contradicción. Por lo tanto una condición suficiente para la respuesta positiva es la existencia de una probabilidad de medida $q$ $Y$ tal que $q(A^x)>0$ por cada $x\in X $. Parece que en Ilya y PhoemueX el Ejemplo es para el caso de al $q$ es Lebesque medida. Otra condición suficiente puede ser obtenida por atómico medida, que es cuando se sale de una contables subconjunto $S$ $Y$ tal que $A^x\cap S\ne\varnothing$ por cada $x\in X$ (o, al menos, para cada una de las $x\in X$ de manera tal que la medida de Lebesgue del conjunto $A^x$ es cero.)