Solución de un sistema de 2 ecuaciones cuadráticas

Question

Tengo un sistema de dos ecuaciones cuadráticas con incógnitas $x$ y $y$ :

$$a_{1 1} x y + a_{1 2} x^2 + a_{1 3} y^2 + a_{1 4} x + a_{1 5} y + a_{1 6} = 0,\\ a_{2 1} x y + a_{2 2} x^2 + a_{2 3} y^2 + a_{2 4} x + a_{2 5} y + a_{2 6} = 0,$$

donde $a_{i j}$ son escalares arbitrarios.

¿Existe una solución algebraica del sistema anterior?

Answer 1

En Intersección de dos cónicas :

Las soluciones de un sistema de dos ecuaciones de segundo grado en dos variables pueden verse como las coordenadas de las intersecciones de dos secciones cónicas genéricas. En particular, dos cónicas pueden tener ninguno, dos o cuatro puntos de intersección posiblemente coincidentes. El mejor método para localizar estas soluciones explota la representación matricial homogénea de las secciones cónicas, es decir, una matriz simétrica de 3x3 que depende de seis parámetros. El procedimiento para localizar los puntos de intersección sigue estos pasos:

• dadas las dos cónicas $C_1$ y $ C_2$ consideremos el lápiz de cónicas dado por su combinación lineal $\lambda C_1 + \mu C_2$
• identificar los parámetros homogéneos $(\lambda,\mu)$ que corresponde a la cónica degenerada del lápiz. Esto puede hacerse imponiendo que $\det(\lambda C_1 + \mu C_2) = 0$ que resulta ser la solución de una ecuación de tercer grado.
• dada la cónica degenerada $C_0$ identifique las dos líneas, posiblemente coincidentes, que lo constituyen
• interseca cada línea identificada con una de las dos cónicas originales; este paso puede realizarse eficientemente utilizando la representación cónica dual de $C_0$
• los puntos de intersección representarán la solución del sistema de ecuaciones inicial

Answer 2

Cada ecuación describe una cónica. Por lo tanto, usted está tratando de calcular la intersección $\cal C_1\cap\cal C_2$ de dos cónicas. En general, hay que esperar cuatro puntos de intersección (por ejemplo, piense en dos elipses que se encuentran transversalmente).

Hay casos especiales en los que la tarea se simplifica. Por ejemplo, si una de las dos cónicas se divide como la unión de dos rectas, o si una de las ecuaciones se reduce fácilmente a la forma $y=f(x)$ .

En el caso general, puede intentar Teoría de la eliminación o puedes explotar el hecho de que las cónicas son curvas racionales es decir, que existe una parametrización $$ \Bbb R\ni t\mapsto (x(t),y(t))\in\cal C_1\qquad(*) $$ dadas por funciones racionales, es decir, cociente de polinomios en $t$ . Entonces, si conectas esta "descripción racional" de $\cal C_1$ en la ecuación de $\cal C_2$ obtendrá finalmente una ecuación polinómica de grado 4 en la variable $t$ cuyas soluciones corresponden a los puntos de intersección. Para resolver esta ecuación de grado 4 se necesita o bien un poco de suerte, o bien un poco de paciencia para ir hojeando viejos libros de Álgebra.

Para obtener (*), el método habitual es encontrar un solo punto $(x_o,y_o)\in\cal C_1$ Consideremos las líneas $$ \ell_t: y=t(x-x_o)+y_o $$ a través de ella y describir la segunda intersección de $\cal C_1\cap\ell_t$ en términos de $t$ .