Coulomb medidor de fijación y "normalizability"

Question

El Programa De Instalación

Vamos griego índices se suman a lo largo del $0,1,\dots, d$ latina y los índices de más de $1,2,\dots, d$. Considere la posibilidad de un vector potencial de $A_\mu$ $\mathbb R^{d,1}$ definido para medir la transformación de la $$ A_\mu\A_\mu'=A_\mu+\partial_\mu\theta $$ para algunos de los verdaderos valores de la función$\theta$$\mathbb R^{d,1}$. La habitual afirmación acerca de Coulomb medidor de fijación es que la condición $$ \partial^i A_i = 0 $$ sirve para fijar el medidor en el sentido de que $\partial^iA_i' = 0$ si $\theta = 0$. El argumento habitual para este (según tengo entendido) es que $\partial^i A'_i =\partial^iA_i + \partial^i\partial_i\theta$, por lo que el Coulomb evaluar las condiciones en $A_\mu$ $A_\mu'$ dar $\partial^i\partial_i\theta=0$, pero la única lo suficientemente suaves, normalizable (Lesbegue integrable?) la solución a este (de Laplace) ecuación de $\mathbb R^d$ $\theta(t,\vec x)=0$ todos los $\vec x\in\mathbb R^d$.

Mi Pregunta

Cuál, si alguna, es la física de la justificación por la suavidad y normalizability restricciones en el indicador de la función $\theta$?

EDITAR 01/26/2013 Motivado por algunos de los comentarios, me gustaría añadir la siguiente pregunta: existen físicamente ejemplos interesantes en los que el indicador de función $\theta$ no ser liso y/o normalizable? Las referencias con más detalles, se agradece. Lubos mencionó que es posible que los monopolos o solitones podrían estar involucrados en tales casos; me gustaría saber más!

Saludos!

Answer 1

Una respuesta rápida, si puedo.

Usted necesita $\theta$ a ser suave, ya que desea obtenerlo. Así que las matemáticas impone que usted elija $\theta$ liso.

Ahora, el truco: la elección de $\theta$ a ser suave, significa que usted siempre puede imponer $\mathbf{A}$ a ser suave, y el uso de varios parches relacionados entre sí por un medidor de transformación. A continuación, usted debe discutir suave vector potencial... ¿? Bien, usted debe, si quiere hacer un buen matemáticas. Pero los físicos generalmente no se preocupan por eso, y elegir un singular vector potencial para demostrar que el campo de configuración de los hosts de un monopolo. El prototipo ejemplo es el vórtice asociados con la U(1) Acuéstese grupo / álgebra. Véase, por ejemplo, el papel de Dirac:

Dirac, P. A. M. Cuantifica Singularidades en el Campo Electromagnético. Proc. R. Soc. Londres. La Ser. Un 133, 60-72 (1931)

donde el vector de potencial es singular en el polo norte o sur. Tenga en cuenta que la teoría de la conexión en el haz de fibras se queda al descubierto en ese momento ! La correcta matemática imagen llegó tarde en la física, que yo sepa al menos. Aquí una hermosa lectura

Wu, T. T. & Yang, C. N. Concepto de nonintegrable fase de factores y formulación global de medidor de campos. Phys. Apo. D 12, 3845-3857 (1975)

donde eligen dos parametrización del círculo: una para el sur y uno para el polo norte, estos dos parameterisations del vector potencial de estar relacionado con el otro por un medidor de transformación.

¿Normalisable entonces? Bueno, nunca he escuchado sobre eso, y sobre todo define todo en espacio compacto(s), donde apenas tiene sentido imponer la norma.

Answer 2

Esto significa que el medidor de ambigüedad es eliminado prácticamente en el gauge de Coulomb si tiene que tratar con una "agradable" $\mathbf{A}$ (que es su propósito).

Sin embargo, esto no significa que usted sólo se ocupan de la radiación (la propagación de soluciones). Transversales $\mathbf{A}$ es diferente de cero para un uniformemente la carga en movimiento.