¿Qué significa$\alpha$ el$1$ - formulario y$\beta$ el$2$ - formulario en$\mathbb{R}^3$?

Question

En un post anterior a las matemáticas.stackexchange me hizo una pregunta que comienza con:

Deje $\alpha$ $1$y $\beta$ $2$- forma en $\mathbb{R}^3$ dada por

$$\alpha=(x+y)\,dy+(x^2-y^2)\,dz$$

$$\beta=z\,dx\wedge dy+xz\,dx\wedge dz$$

La cuña producto que me dieron era la $\alpha\wedge\beta(x,y,z)=-yz(x+y)\,dx\wedge dy\wedge dz$

A mi entender, $\alpha$ sería en términos de uno de los componentes en $\mathbb{R}^3$ $\beta$ sería en términos de dos de los componentes en $\mathbb{R}^3$, pero este no es el caso en absoluto.

Tiene sentido para los $\alpha\wedge\beta$ a ser un tres formulario para mí, ya que es en términos de $x,y$ $z$

Pero esto no es para $\alpha$ o $\beta$, por lo que esta no puede ser la relación.

Otra cosa que me llamó la atención fue que $\alpha$ sólo $dy$ $dz$ términos, mientras que $\beta$ tiene dos formas diferenciales en forma de cuña y $\alpha\wedge\beta$ los tres formulario tiene tres formas diferenciales en forma de cuña es esta la relación?

Tiene sentido para mí, para ser la relación, pero no puedo encontrar una fuente para verificar esto para mí.

Answer 1

En$\Bbb R^3,$ cada$1-$ formulario escribe como una combinación$$\alpha = f \ {\rm d}x + g \ {\rm d}y + h \ {\rm d}z,$ $ $% 2 -$forms writes as combinations $$\beta = f \ {\rm d}x \wedge {\rm d}y+ g \ {\rm d}x \wedge {\rm d}z+ h \ {\rm d}y\wedge {\rm d}z,$$ and $ 3 -$forms are $$\omega = f \ {\rm d}x \wedge {\rm d}y\wedge {\rm d}z.$ $ Puedes encontrar pruebas sobre esto en "Formularios diferenciales y aplicaciones" de Do Carmo, y un poco en O'Neill's Elementary Differential Geometry. El producto de cuña de un formulario$k-$ con un formulario$s-$ es un formulario$(k+s)-$. Como el producto de cuña es anti-conmutativo, las repeticiones matan. Entonces en su ejemplo:$$\alpha \wedge \beta =(x+y)xz \ {\rm dy} \wedge {\rm d}x \wedge {\rm d}z + (x^2-y^2)z \ {\rm d}z \wedge {\rm d}x \wedge {\rm d}y \\ = (x^2z-y^2z-x^2z-xyz) \ {\rm d}x \wedge {\rm d}y \wedge {\rm d}z = -(y^2z+xyz) \ {\rm d}x \wedge {\rm d}y \wedge {\rm d}z, $ $ entonces su resultado es correcto.