qué se puede derivar de una matriz similar

Question

Si $ A = \begin{pmatrix} 0&\star&\star \\ \star&x&\star \\ \star & \star & 5 \end {pmatrix}$ is similar to $ B = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&y&0 \\ 0 & 0 & 10 \end {pmatrix}$,where $ \ star $ representa un número desconocido. Encontrar y $x$

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Lo sé, el rastro de$y$ es igual al rastro de$A$, en otras palabras,$B$, y su determinante y polinomio característico también es el mismo. pero$5+x=11+y$ y$\det A$ tienen mucha cantidad desconocida. ¿Hasta qué punto podemos determinar$\det(\lambda I -A)$ de la condición?

Answer 1

No hay ninguna relación entre el $x$ $y$ además de con $5+x=11+y$ (igualdad de trazas). El punto clave es tener en cuenta que las matrices serán similares si la traza, el determinante y el $\lambda$ factor del polinomio característico son los mismos (la suma de los tres $2\times 2$ subdeterminants); no es una completa equivalencia (pensemos por ejemplo en la no-diagonalisable matrices), pero en este caso sólo se producirá para un número finito de combinaciones de las estrellas.

Por tanto, la estrategia es la siguiente: elija $y\in \mathbb{R}$ y establezca $x=6+y$. A continuación, las estrellas pueden ser valores dados para que

1. El determinante de a $A$ $10y$

2. La suma de los tres $2\times 2$ subdeterminants (con signo apropiado) es $y+10y+10$.

A continuación, $y$ puede ser cualquier número real.