Contando grupos

Question

Mi tarea es determinar el número de grupos abelianos de orden$p_{1}^{4}p_{2}^{4}...p_{n}^{4}$, donde cada$p_{n}$es un primo distinto.

Mi intento:

$\forall p$, hay 5 grupos posibles de orden no isomórficos$p^4$, a saber,$Z_{p^4}$,$Z_{p^3}\oplus Z$,$Z_{p^2}\oplus Z_{p^2}$,$Z_{p^2}\oplus Z_{p} \oplus Z_{p}$ y$Z_{p} \oplus Z_{p}\oplus Z_{p} \oplus Z_{p}$. Entonces podemos formar un grupo de orden$p_{1}^{4}p_{2}^{4}...p_{n}^{4}$ eligiendo uno de estos grupos para cada$p_{n}$, y luego formando el producto directo de esas elecciones. Entonces, ¿es$5^n$ grupos posibles? Siento que hay redundancias que no estoy teniendo en cuenta.

Answer 1

Para cada$p$, hay 5 posibles grupos de orden no isomórficos$p^4$, a saber,$Z_{p^4}$,$Z_{p^3}\oplus Z$,$Z_{p^2}\oplus Z_{p^2}$,$Z_{p^2}\oplus Z_{p} \oplus Z_{p}$ y$Z_{p} \oplus Z_{p}\oplus Z_{p} \oplus Z_{p}$. Entonces podemos formar un grupo de orden$p_{1}^{4}p_{2}^{4}...p_{n}^{4}$ eligiendo uno de estos grupos para cada$p_{n}$, y luego formando el producto directo de esas elecciones. Por lo tanto, como hay 5 opciones de este tipo para cada$p_{n}$, hay%%% de productos posibles%, y por lo tanto$5^n$ distintos (hasta isomorfismo) grupos de orden abelianos$5^n$.