¿Agrego o multiplico en esta pregunta?

Question

Hay 30 jugadores de fútbol, que deben ser divididos en equipos.

(a) ¿de cuántas maneras distintas se puede construir 5 equipos de 6 jugadores?

(b) Si 5 de los jugadores son de porteros (y cada equipo tiene exactamente un portero), ¿de cuántas maneras distintas se puede formar los equipos?

Para (a) tenemos $$C(30,6) \times C(24,6) \times C(18,6) \times C(12,6) \times C(6,6)$$

camino para la construcción de $5$ equipos de $6$ jugadores de derecho ?

Ahora para la parte (b), tendremos $25$ jugadores y $5$ porteros para elegir a la derecha , así que vamos a tener $$C(25,5) \times C(20,5) \times C(15,5) \times C(10,5) \times C(5,5)$$ ways to choose the players, and then we have $5$ goalies, and we want to count the number of ways that those $5$ porteros pueden ser asignados a cada equipo.

Puedo visualizar de esta manera, ¿de cuántas maneras distintas podemos reorganizar

$1 2 3 4 5$, es básicamente $5!$ a la derecha así que puedo usar la regla de la suma aquí y añado $5!$ $C(25,5) \times C(20,5) \times C(15,5) \times C(10,5) \times C(5,5)$y estoy hecho a la derecha ?

Estoy confundido si sumar o multiplicar el $5!$, Pero me siento un poco debe ser la suma y la multiplicación no

Es correcto y no hay otra manera de atacar este problema

Answer 1

Está de acuerdo en que es el principio que va a ser utilizado.

Sin embargo, usted necesita ser muy cuidadoso para ver si el cálculo es para el etiquetado de los equipos o sin etiquetar los equipos de

(a)

$$\text{The computation}\;\;{30\choose 6}{24\choose 6}{18\choose 6}{12\choose 6}{6\choose 6}\text{ is for labelled teams}$$

Esto será más claro expresan como $\dfrac{30\cdot29\cdot28...3\cdot2\cdot1}{6!\cdot6!\cdot6!\cdot6!\cdot6!\cdot6!} = \dfrac{30!}{(6!)^5}$

lo que significa que la línea de los 30 con líneas divisorias después de cada 6, permutar el 30 de todas las formas posibles, y quitar las permutaciones dentro de cada equipo.

Si se especifica que los equipos están sin etiquetar, deberá dividir por 5!

(b)

A continuación, los equipos automáticamente a ser etiquetados por los 5 porteros,por lo que podemos asumir que los porteros están dispuestos como $ABCDE,$ y adjuntar todas las posibles combinaciones de 5 a ellas, de ahí

$${25\choose5}{20\choose5}{15\choose5}{10\choose5}{5\choose5}\;\; \text{or if you so prefer,}\;\;\frac{25!}{(5!)^5}$$

Answer 2

Agregar cuando dos eventos no pueden ser realizadas al mismo tiempo, que no es el caso aquí. Se multiplica cuando cada tarea puede realizarse por separado.

Podemos seleccionar un equipo de la selección de seis de la $30$ jugadores en $\binom{30}{6}$ maneras. Para cada opción, se puede seleccionar un segundo equipo de la selección de seis de la $24$ restante de los jugadores en $\binom{24}{6}$ maneras. Por lo tanto, no se $\binom{30}{6}\binom{24}{6}$ maneras de seleccionar los dos equipos. Para cada forma en la que podemos seleccionar dos equipos, podemos seleccionar un tercer equipo de la selección de seis de los restantes $18$ jugadores. Se puede seleccionar un cuarto equipo de la selección de seis de los restantes $12$ jugadores. El quinto equipo a continuación se selecciona de forma predeterminada. Por lo tanto, hay $$\binom{30}{6}\binom{24}{6}\binom{18}{6}\binom{12}{6}\binom{6}{6}$$ maneras de seleccionar los cinco etiquetado de los equipos. Si los equipos se fueron sin marcar, tendríamos que dividir este resultado por $5!$ a cuenta de los distintos pedidos en los que los equipos podrían ser etiquetados.

Para la segunda pregunta, hay cinco porteros. Vamos con la etiqueta a, B, C, D, E. podemos completar la selección de un equipo mediante la asignación de cinco de los restantes $25$ a los jugadores a jugar con Un portero en $\binom{25}{5}$ maneras. Podemos seleccionar un segundo equipo mediante la asignación de cinco de los restantes $20$ a los jugadores a jugar con portero B en $\binom{20}{5}$ maneras. Podemos seleccionar un tercer equipo mediante la asignación de cinco de los restantes $15$ a los jugadores a jugar con portero C en $\binom{15}{5}$ maneras. Podemos seleccionar un cuarto equipo mediante la asignación de cinco de los restantes $10$ a los jugadores a jugar con portero D en $\binom{10}{5}$ maneras. El quinto equipo se compone de portero E y los cinco seleccionados jugadores de campo. Puesto que cada equipo está determinado por quien juega con un particular portero, el número de maneras de seleccionar los cinco equipos es $$\binom{25}{5}\binom{20}{5}\binom{15}{5}\binom{10}{5}\binom{5}{5}$$