Ecucación funcional de iteraciones.

Question

Problema: Sea $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ tal que se cumple $$f(f(f(x)))+2f(f(x))+f(x)=4x$$ y $$f^{2009}(x)=x$$ ($f$ iterado $2009$ veces).

Demuestra que $f(x)=x$. Este es un problema tipo concurso, así que se supone que tiene una solución elegante.

Mi enfoque: Consideré $f^{(k)}(x)=a_k$ entonces obtenemos,

$a_n+2a_{n-1}+a_{n-2}-4a_{n-3}=0$ con $f(a_{n-1})=a_n$ y necesitamos mostrar que la secuencia es constante, $a_i=a_0$. Las raíces características de esa recurrencia no son buenas. También observé que $f$ debe ser una bijección

Alguien por favor ayude.

Answer 1

No estoy seguro de que mi solución sea elegante.

Entonces, sea $g(x) = f(x) - x$. Podemos reescribir la primera ecuación del problema como $$ f(f^2(x)) - f^2(x) + 3f^2(x)-3f(x) + 4f(x) - 4x = 0, $$ o usando $g(x)$ $$ g(f^2(x)) + 3g(f(x)) + 4g(x) = 0. $$ Sea $a_n = g(f^n(x))$. Entonces $a_n + 3a_{n-1} + 4a_{n-2} = 0$. Podemos simplificar esta relación recurrente: sea $b_n = a_n + \frac{3 - i\sqrt{7}}{3}a_{n-1}$. Entonces $b_n + \frac{3+i\sqrt{7}}{2}b_{n-1} = a_n + 3a_{n-1} + 4a_{n-1} = 0$ o $$b_n = -\frac{3+i\sqrt{7}}{2}b_{n-1} = \left(-\frac{3+i\sqrt{7}}{2}\right)^{n-1} b_1.$$ Ahora, usando la relación $f^{2009}(x) = x$ obtenemos que $b_{2010} = b_1$. Por lo tanto, $$ b_1 = \left(-\frac{3+i\sqrt{7}}{2}\right)^{2009} b_1 \; \Rightarrow \; b_1 = 0\; \Rightarrow \; b_n = 0. $$ Por lo tanto $a_n + \frac{3 - i\sqrt{7}}{2}a_{n-1} = 0$ o $$a_n = \left(-\frac{3 - i\sqrt{7}}{2}\right)a_{n-1} = \left(-\frac{3 - i\sqrt{7}}{2}\right)^{n}a_0$$ y nuevamente, como $f^{2009}(x) = f(x)$ obtenemos $a_{2009} = a_0$ o $$ a_0 = \left(-\frac{3 - i\sqrt{7}}{2}\right)^{2009}a_0 \;\Rightarrow\; a_0 = 0. $$ Como $a_0 = g(x) = f(x) - x$ obtenemos $$f(x) - x = 0$$ QED.

Answer 2

No tengo confianza en esta respuesta, pero igual la publicaré, ya que no hay respuestas.

Mira la ecuación $f^{3} + 2f^{2} + f = 4x$.

Esto nos dice que los términos del lado izquierdo son una combinación lineal de $x$ que suma 4x, a menos que alguno de ellos se cancele entre sí.

Supongamos que ninguno de los términos del lado izquierdo se cancela.

Entonces, $f^3 + 2f^2 + f = ax + bx + f$

$f = x(4 - a - b)$

Combina esto con el hecho de que $f^{2009} = x$ y se sigue que $f = x$

Ahora solo necesitamos verificar qué sucede si se cancelan algunas combinaciones de los términos del lado izquierdo.

Supongamos que TODOS los términos del lado izquierdo se cancelan. Entonces la ecuación no tiene sentido, podemos descartar ese caso.

Supongamos que $f^3$ y $2f^2$ se cancelan entre sí, podemos llegar al resultado usando los resultados de las dos suposiciones anteriores.

Supongamos que $f$ y $f^3$ se cancelan entre sí, obtenemos

$f^2 = 2x$

$f^4 = 2^{2}x$

...

$f^{2010} = f(x) = 2^{1005}x$

Esto contradice el hecho de que $f^{2009} = x, por lo que no deberían cancelarse.

Finalmente, supongamos que $f$ y $f^2$ se cancelan entre sí, obtenemos
$f^3 = 4x$

$f^6 = 16x$ ...

$f^{2010} = f(x) = 4^{670}x$

Esto contradice el hecho de que $f^{2009} = x, por lo que no deberían cancelarse.

¡Hecho!