Como sugiere el título de la pregunta, ¿cuál es la explicación para las variables ficticias de la relación entre los coeficientes de Fourier, los valores propios y el espectro de un anillo?
Respuestas
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La serie de Fourier de una función periódica puede ser considerado como su descomposición en funciones propias de la traducción operador $f(x) \mapsto f(x + t)$ sobre las funciones periódicas. Decir que estamos hablando de $\mathbb{C}$valores de las funciones con período de $2 \pi$: a continuación, las funciones propias son $e^{inx}, n \in \mathbb{Z}$ con autovalores $e^{int}$ (para la traducción por $t$).
La conexión con el espectro de un anillo es un poco más indirecto. Supongamos $T : V \to V$ es un operador lineal en un finito-dimensional espacio vectorial complejo. Se genera un conmutativa sub-anillo del anillo de $\text{End}(V)$ de endomorphisms de $V$ isomorfo a $\mathbb{C}[T]/m(T)$ donde $m$ es el polinomio mínimo de a $T$. El espectro de este anillo, en el sentido de la geometría algebraica, tiene un punto de cierre para cada autovalor de a $T$ (ejercicio).
Johnny Ma
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Esta es la pregunta básica acerca de la sobrecarga de uso de la palabra "espectro", como los tres términos son llamados espectros. Sólo los valores propios de un operador lineal y el espectro de un anillo están directamente relacionados; los coeficientes de Fourier son independientes. Como tal, sólo vamos a explicar esa conexión.
No estoy seguro de si hay una "explicación para dummies", en el sentido de que podemos explicar cómo la transformada de Fourier funciona a través de la conducta observable de sonido y de las ondas de luz. Sin embargo, hay sin duda una forma de uso de pregrado de álgebra lineal para explicar esto, y vamos a tratar de hacerlo.$$\textbf{eigenvalues} \leftrightarrow \textbf{spectrum of a ring}$$Let $V$ be a vector space over a field $k$. The set of eigenvalues of linear operator, e.g. a matrix, $T: V \a V$ is called the spectrum of $T$, denoted $\text{Spec}\,T$. Note that we include the multiplicities of each eigenvalue, e.g. the number of times it is an eigenvalue. The spectrum is computed by finding the roots of the characteristic polynomial, $\chi(x)$.
El espectro de un anillo $R$, $\text{Spec}\,R$ se define como el conjunto de primer ideales de $R$.
Cómo se relacionan estas dos? Considerar el conjunto de los polinomios de $T$ con coeficientes en $k$,$$k[T] = \{a_0 + \ldots + a_nT^n : a_i \in k,\,n \in \mathbb{N}\}.$$Now, recall that the Cayley-Hamilton theorem says that every linear operator satisfies its characteristic polynomial, e..g $\chi(T) = 0$. If we "enforce" this constraint in $k[T]$, e.g. taking the quotient of $k[T]$ by the idea generated by $\chi(T)$, we get a new ring $R' = k[T]/(\chi(T))$. It turns out that the prime ideals of $R'$ are simply generated by the polynomials $(x - \lambda_1)$, $\ldots$, $(x - \lambda_n)$, where $\lambda_i$ son los asociados a los autovalores. Con un poco más de trabajo, podemos demostrar que tenemos las multiplicidades, por ejemplo, no podemos cociente por el polinomio mínimo. Ver aquí para una discusión más larga de este y otros algebraicas, geométricas preocupaciones.
