Superficie mínima y curvatura media

Question

En el marco de un curso sobre inestabilidades, estoy tratando de probar que las películas de jabón entre dos anillos tiene la forma de un catenoid. Dado que la presión es igual en ambos lados de la película, esperamos tener una superficie que tiene cero significa curvatura en todas partes, es decir:

$$\frac 1 {r_1}+\frac 1 {r_2}=0 \tag1 $$

donde$r_1$$r_2$, son los dos principales radios. (Suponga que tenemos dos planos perpendiculares, el $(x,r)$ plano y el $(r,\theta)$ plano). En el $(x,r)$ plano, el radio es:

$$r_1=\frac{r''(x)}{\left(1+r'(x)^2\right)^{3/2}} \tag2$$

mientras que la radio es "constante" en cada sección en $(r,\theta)$ $r_2=-r(x) \tag3 $

así que la primera relación se convierte en: $$r(x)r''(x)=\left(1+r'(x)^2\right)^{3/2} \tag4 $$

que no es la relación dada por la búsqueda de la mínima superficie

$$ rr''=1+r'^2 \tag 5$$ que conduce a la correcta catenoid forma.

¿De dónde me salen mal? Siento que me estoy utilizando la fórmula incorrecta para$r_1$, pero parece que no puede encontrar una alternativa. Alguien puede lanzar una sugerencia a mi manera?

Answer 1

Para cualquier curva de $r(\theta)$, la curvatura es dada por la fórmula $$r(\theta)=r(0)+\dot{r}(0)\theta+\frac{1}{2}\ddot{r}(0)\theta^2+o(3)=r(0)+\dot{s}t+\frac{1}{2}\dot{s}^2\kappa n+o(3)$$ that is, $\kappa=\frac{\ddot{r}(0)\cdot n}{\dot{s}^2}$.

En el problema de las películas de jabón, la superficie está dada por $$\mathbf{r}(x,\theta)=\begin{pmatrix}r(x)\cos\theta\\r(x)\sin\theta\\x\end{pmatrix}$$ There are two relevant perpendicular curves, those at constant $x$ and at constant $\theta$. The tangents in the different directions are $$t_x=\frac{d}{dx}\mathbf{r}=\begin{pmatrix}r'(x)\cos\theta\\r'(x)\sin\theta\\1\end{pmatrix}$$ $$t_\theta=\frac{d}{d\theta}\mathbf{r}=\begin{pmatrix}-r(x)\sin\theta\\r(x)\cos\theta\\0\end{pmatrix}$$ The normal vector is then $$n=\frac{t_x\times t_\theta}{|t_x\times t_\theta|}=\frac{1}{\sqrt{1+r'(x)^2}}\begin{pmatrix}-\cos\theta\\-\sin\theta\\r'(x)\end{pmatrix}$$

$\dot{s}=|t|$ en cada caso; así, por la constante $\theta$ curva, $\dot{s}=|t_x|=\sqrt{1+r'(x)^2}$, mientras que para la constante de $x$ curva, $\dot{s}=|t_\theta|=r$.

Por lo tanto las dos curvaturas están dadas por $$\kappa_x=\frac{t_x'\cdot n}{\dot{s}^2}=\frac{-r''(x)}{\sqrt{1+r'(x)^2}^{3/2}}$$ $$\kappa_\theta=\frac{t_\theta'\cdot n}{\dot{s}^2}=\frac{r(x)}{r(x)^2\sqrt{1+r'(x)^2}}$$

Para una superficie mínima $\kappa_x+\kappa_\theta=0$, lo $r''r=1+(r')^2$.

Como se puede ver, el director de la curvatura en la $\theta$ dirección no es $1/r$ como se podría pensar.

Answer 2

ps

donde$$\frac 1 {r_1}+\frac 1 {r_2}=0 \rightarrow \frac {r_2}{r1}=-1 \tag{11} $ y$r_1$ son los mismos dos radios principales de las curvaturas principales. $r_2$ se debe tomar correctamente normal al meridiano como:

ps

ps

Divide arriba dos ecuaciones

ps

También ha escrito la curvatura incorrectamente para el radio de curvatura en la ecuación 2). También tu ecuación 3) incorrecta. Lo que escribiste es verdadero solo para un cilindro.