¿Hay algún ejemplo de un anillo no conmutativo con 1 en el que los únicos ideales son (0) y el anillo completo, sin embargo, los elementos no tienen inversos multiplicativos?
Pensé en un ejemplo de todas las matrices 2x2 con entradas de cualquier campo (como R, el número real), y es evidente que no todas son invertibles, por lo tanto, no tienen inversas multiplicativas, pero ¿cómo puedo demostrar que los ideales son solo (0) y todo el anillo?
Muchas gracias!
Estos anillos se llaman simples anillos. Como Torsten dice en los comentarios, una clase de niza ejemplos que no son de la división de los anillos es la matriz de álgebras de $M_n(k)$. Más generalmente, por la Artin-teorema de Wedderburn la artinian simple anillos son precisamente los anillos de la forma $M_n(D)$ donde $D$ es una división de álgebra. Si el centro de la $D$ $k$ a continuación, estos son centrales simple álgebras de más de $k$ y son clasificados por el grupo de Brauer de $k$.
Para demostrar que $M_n(D)$ es simple es más para demostrar una más general resultado:
Reclamo: Las dos caras de los ideales de la $M_n(R)$, para cualquier anillo de $R$, son de la forma $M_n(I)$ donde $I$ es un dos caras ideal de $R$.
Corolario: $M_n(R)$ es simple iff $R$ es simple.
Prueba. Deje $X \in M_n(R)$ cualquier elemento. El ideal generado por a $X$ se compone de combinaciones lineales de los elementos de la forma
$$e_{ij} X e_{kl}$$
donde $1 \le i, j, k, l \le n$; esta matriz tiene un único componente distinto de cero, es decir, el $il$ entrada, cuyo valor es $X_{jk}$. Así, mediante la selección de $i, j, k, l$ adecuadamente vemos que podemos organizar para cualquier componente particular de $X$ para terminar en el de cualquier otro componente; en otras palabras, el ideal generado por a $X$ $M_n(I)$ donde $I$ es el ideal de la $R$ generado por los componentes de $X$. El resultado deseado de la siguiente manera en la que tomando la suma de los ideales, de los que da más general que el ideal generado por cualquier colección de matrices es $M_n(I)$ donde $I$ es el ideal de la $R$ generado por sus componentes. $\Box$
He dicho anteriormente que el artinian simple anillos son anillos de la forma $M_n(D)$, así que vamos a cerrar con un no-artinian ejemplo. Tal vez el más famoso no artinian simple anillos son las álgebras de Weyl, de los cuales el de una variable en la versión escrita
$$k[x, \partial]/(\partial x - x \partial = 1)$$
donde $k$ es un campo de característica cero; esto puede ser pensado como el álgebra de operadores diferenciales en $k[x]$, $\partial$ actuando por la diferenciación por $x$.
Reclamo: Con la anterior hipótesis, el álgebra de Weyl es simple.
Prueba. Deje $f = \sum f_{ij} x^i \partial^j$ ser un elemento del álgebra de Weyl; vamos a mostrar directamente que si $f$ es distinto de cero, entonces el ideal que genera toda álgebra de Weyl. En primer lugar, se observa que el monomials $x^i \partial^j$ forman una base del álgebra de Weyl; hay varias maneras para probar esto, se trata de una AFPde tipo de resultado. Por lo $f = 0$ fib $f_{ij} = 0$ todos los $i, j$.
La definición de la relación de la álgebra de Weyl puede ser escrito $[\partial, x] = 1$ donde $[a, b] = ab - ba$ es el colector de soporte. Ahora, el colector de soporte de $[\partial, -]$ es siempre una derivación, por lo que se deduce que
$$[\partial, x^i] = \partial x^i - x^i \partial = ix^{i-1}$$
mientras que $[\partial, \partial] = 0$ y, por tanto,$[\partial, \partial^j] = 0$. Esto le da
$$[\partial, x^i \partial^j] = ix^{i-1} \partial^j$$
y por lo tanto
$$[\partial, f] = \sum f_{ij} ix^{i-1} \partial^j.$$
Que es, la informática, el colector por $\partial$ tiene el efecto de diferenciar el polinomio parte de $f$ (y tenga en cuenta que $[\partial, f] = \partial f - f \partial$ se encuentra en el ideal generado por a $f$). Por lo que podemos aplicar repetidamente $[\partial, -]$ $f$hasta que todos los de su polinomio partes se desvanecen con la excepción de los de más alto grado; por lo tanto podemos asumir WLOG que $f$, de hecho, tiene la forma
$$f = \sum f_j \partial^j$$
donde al menos uno de $f_j$ es cero (es por esto que necesitamos tanto en el supuesto de que el $x^i \partial^j$ formar una base y que $k$ tiene de característica cero). En este punto podemos ahora, en lugar de aplicar la derivación $[-, x]$, que satisface $[\partial, x] = 1$ y, por tanto, por inducción
$$[\partial^j, x] = j\partial^{j-1}$$
lo que da
$$[f, x] = \sum f_j j \partial^{j-1}.$$
Por lo que puede volver repetidamente "diferenciar" hasta $f$ es una constante distinto de cero, lo que claramente genera toda álgebra de Weyl. $\Box$
La matriz es una herramienta muy importante anillo no conmutativo. El siguiente teorema puede ayudarnos con su pregunta.
Teorema: deje que R sea un anillo,$M_{n}(R)$ sea el anillo de todas las matrices$n$ x$n$ sobre$R$.
$I\unlhd M_{n}(R) \iff$$I=M_{n}(U)$ para un ideal único determinado$U$ de$R$.
En particular,$R$ es simple$\iff$$M_{n}(R)$ es simple.
En consecuencia,$M_{n}(D)$ es simple para cualquier anillo de división$D$.
Por lo tanto, puede encontrar muchos ejemplos a través de las declaraciones anteriores.
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