Encuentra el valor de $c+d$

Question

En un punto de $A(1,1)$ en la elipse , de la ecuación de la tangente es $y=x.$ Si uno de los

los focos de la elipse es $(0,-2)$ y la coordenada del centro de la elipse es $(c,d)$.

A continuación, encuentra el valor de $c+d$ (dada la longitud del eje mayor es $4\sqrt{10} unit$)

Intento : asumiendo que uno de los focos es en $S_{1}(0,-2)$ y otra al $S_{2}(\alpha,\beta)$ $A(1,1)$ ser un punto de la elipse. a continuación, $AS_{1}+AS_{2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{10}+\sqrt{(1-\alpha)^2+(1-\beta)^2} = 4\sqrt{2}$

alguien podría ayudarme a solucionarlo , gracias

Answer 1

La pendiente de la normal en $(1,1)$ $-1$ y el normal biseca el ángulo entre el $S_1A, S_2A$. Dado que la pendiente de $AS_1$ es 3, la pendiente de la normal de es $-1$, pendiente de $AS_2$$\frac{1}{3}$. La ecuación de $AS_2$$y-1 = \frac{1}{3}(x-1)$. Por lo tanto $\beta -1 = \frac{1}{3}(\alpha-1)$. Sustituir esto en la ecuación de $AS_1+AS_2 = 4\sqrt{10}$ conseguir $|1-\alpha| = 9$ dar $\alpha = 10, -8$. Ahora podemos obtener la $\beta$. Hay dos posibles puntos suspensivos. Al $\alpha = -8$, obtenemos $\beta = -2$ y el centro de la elipse es$(-4, -2)$$c+d = -6$. Cuando $\alpha = 10$, $\beta = 4$ y en el centro es$(5,1)$$c+d = 6$. Por lo tanto $c+d = \pm 6$.

Answer 2

Tenemos

1. Suma de las distancias de focii $=2a = 4\sqrt{10}$ a partir de la cual obtenemos

$$(\alpha-1)^2+(\beta-1)^2 = 90$$

2. Producto de distancias a partir de la tangente (que es provechoso $x=y$) es $b^2$ ($b$ es el semi-eje menor) y, por tanto,$$4(\alpha-\beta)=4b^2$$ (Noting that $\ alfa>\beta$)

3. La distancia entre focii $=4(a^2-b^2)$ Este rendimientos $$\alpha^2+(\beta+2)^2 = 160-4b^2$$

A partir de estos podemos obtener ese $3 \alpha-\beta = 34$. Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos $\alpha=10$ y, por tanto,$\beta = 4$.

Por lo tanto $c=5, d=1$ y, por tanto, $c+d=6$

Answer 3

una estrategia posible es considerar la siguiente propiedad: "la línea tangente siempre se hace de la igualdad de los ángulos con el generador de líneas (es decir, líneas que circulan a través de los focos)"

por esta propiedad se puede escribir una primera ecuación para las coordenadas de $S_2(x,y)$

la segunda ecuación es dada por: $$|AS_1|+|AS_2|=2a=4 \sqrt{10}$$

una vez que usted ha $S_2$ usted puede encontrar fácilmente el centro en el punto medio entre los focos

Answer 4

Otra estrategia posible es considerar que el centro pertenece a la circunferencia con centro en a y radio de $2\sqrt{10}$. Por esto se puede encontrar una primera ecuación para c y d. Entonces usted también puede encontrar $S_2$ como en el punto opuesto de $S_1$ wro el centro. Finalmente se use la ecuación de $$|AS_1|+|AS_2|=4\sqrt{10}$$