El uso de la descomposición espectral, es equivalente a la instrucción
$$
\sup_{\|f\|=1} \left( \left|\int \phi_1 |f|^2\right|^2 + \left|\int \phi_2 |f|^2\right|^2 \right)
\ge \sup_{\|f\|=1} \left( \int |\phi_1|^2 |f|^2 + \int |\phi_2|^2 |f|^2\right).
$$
Es fácil ver, que el lado derecho es igual a $\|\phi_1^2 + \phi_2^2\|_{L^\infty}$ (solo set $f$ a ser un múltiplo de la función característica de a $\{x: |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 \ge \||\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\|_{L^\infty}-\epsilon\}$).
La misma idea se puede aplicar para la mano izquierda en el caso real.
Permítanme asumir primero que $\phi_1,\phi_2$ son de un valor real y no negativa(o, equivalentemente, $A_1,A_2$ auto-adjuntos y positivo semidefinite).
Deje $s,t\ge0$ ser dado.
Set $S:=\{x: \ \phi_1\ge s, \phi_2\ge t\}$.
Supongamos $S$ tiene medida positiva.
Set $f:=\chi_S \|\chi_S\|_{L^2}^{-1}$. Entonces
$$
(\int \phi_1 f^2)^2 + (\int \phi_2 f^2)^2 \ge s^2 + t^2.
$$
Set $M:=\||\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\|_{L^\infty}$.
Deje $\epsilon\in(0,M)$ ser dado. Luego hay no negativo $s,t$ tal que $s^2+t^2\ge M-\epsilon$ $S:=\{x: \ \phi_1\ge s, \phi_2\ge t\}$ tiene medida positiva.
Esto muestra que el lado izquierdo es $\ge \||\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\|_{L^\infty}$. Esto demuestra que el reclamo no negativos $\phi_i$.
Para arbitrario $\phi_i$, se puede argumentar de manera similar: Hay números de $s,t\ge0$
con $s^2+t^2\ge M-\epsilon$ y el complejo de la unidad de vectores $u_1,u_2$ tal el conjunto de
$$S:=\{x: \ \Re(u_1\phi_1)\ge s, \Re(u_2\phi_2)\ge t\}$$
tiene medida positiva. A continuación, para $f:=\chi_S \|\chi_S\|_{L^2}^{-1}$ tenemos
$$
\left|\int \phi_1 |f|^2\right|^2 + \left|\int \phi_2 |f|^2\right|^2
\ge \left(\Re u_1\int \phi_1 |f|^2\right)^2 + \left(\Re u_2\int \phi_2 |f|^2\right)^2\ge s^2 + t^2.
$$
