La desigualdad de la participación de dos normales operadores de $A_1,A_2$ que conmutan.

Question

Deje $E$ ser un complejo espacio de Hilbert con producto interior $\langle\cdot\;, \;\cdot\rangle$ y la norma $\|\cdot\|$ y deje $\mathcal{L}(E)$ el álgebra de todos los delimitada lineal de operadores de$E$$E$.

Deje $A_1, A_2\in \mathcal{L}(E)$ dos normales operadores que $A_1A_2=A_2A_1$. Necesito un poco de ayuda para saber cómo puedo probar esta desigualdad: $$\displaystyle\sup_{\|f\|=1}\bigg(|\langle A_1f\;,\;f\rangle|^2+|\langle A_2f\;,\;f\rangle|^2\bigg)^{1/2}\geq\displaystyle\sup_{\|f\|=1}\bigg(\|A_1f\|^2+\|A_2f\|^2\bigg)^{\frac{1}{2}}.$$

Estoy tratando de resolverlo, pero no conseguí llegar a ninguna respuesta, yo sería tan feliz si alguien me podría ayudar en eso.

Gracias a todos !!!

Answer 1

El uso de la descomposición espectral, es equivalente a la instrucción $$\sup_{\|f\|=1} \left( \left|\int \phi_1 |f|^2\right|^2 + \left|\int \phi_2 |f|^2\right|^2 \right) \ge \sup_{\|f\|=1} \left( \int |\phi_1|^2 |f|^2 + \int |\phi_2|^2 |f|^2\right).$$ Es fácil ver, que el lado derecho es igual a $\|\phi_1^2 + \phi_2^2\|_{L^\infty}$ (solo set $f$ a ser un múltiplo de la función característica de a $\{x: |\phi_1|^2 + |\phi_2|^2 \ge \||\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\|_{L^\infty}-\epsilon\}$).

La misma idea se puede aplicar para la mano izquierda en el caso real. Permítanme asumir primero que $\phi_1,\phi_2$ son de un valor real y no negativa(o, equivalentemente, $A_1,A_2$ auto-adjuntos y positivo semidefinite).

Deje $s,t\ge0$ ser dado. Set $S:=\{x: \ \phi_1\ge s, \phi_2\ge t\}$. Supongamos $S$ tiene medida positiva. Set $f:=\chi_S \|\chi_S\|_{L^2}^{-1}$. Entonces $$(\int \phi_1 f^2)^2 + (\int \phi_2 f^2)^2 \ge s^2 + t^2.$$ Set $M:=\||\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\|_{L^\infty}$. Deje $\epsilon\in(0,M)$ ser dado. Luego hay no negativo $s,t$ tal que $s^2+t^2\ge M-\epsilon$ $S:=\{x: \ \phi_1\ge s, \phi_2\ge t\}$ tiene medida positiva. Esto muestra que el lado izquierdo es $\ge \||\phi_1|^2 + |\phi_2|^2\|_{L^\infty}$. Esto demuestra que el reclamo no negativos $\phi_i$.

Para arbitrario $\phi_i$, se puede argumentar de manera similar: Hay números de $s,t\ge0$ con $s^2+t^2\ge M-\epsilon$ y el complejo de la unidad de vectores $u_1,u_2$ tal el conjunto de $$S:=\{x: \ \Re(u_1\phi_1)\ge s, \Re(u_2\phi_2)\ge t\}$$ tiene medida positiva. A continuación, para $f:=\chi_S \|\chi_S\|_{L^2}^{-1}$ tenemos $$\left|\int \phi_1 |f|^2\right|^2 + \left|\int \phi_2 |f|^2\right|^2 \ge \left(\Re u_1\int \phi_1 |f|^2\right)^2 + \left(\Re u_2\int \phi_2 |f|^2\right)^2\ge s^2 + t^2.$$