Una extraña norma en el polinomio espacio de $\mathbb{P}[0,1]$. Una contradicción?

Question

Vamos a definir una norma $\|f\|=\sup_{k\geq 0}\sup_{t\in [0,1]}|f^{(k)}(t)|$. Es fácil ver que en el polinomio espacio de $\mathbb{P}[0,1]$ espacio, la norma $\|\|$ está bien definido.

¿Cuál es la dimensión de la finalización de $(\mathbb{P}[0,1],\|\|)$ bajo esta norma ?

Parece ser finito dimensionales, porque uno puede mostrar que la unidad de la bola en este nuevo espacio de Banach $X$ es compacta como sigue:

Sólo tenemos que mostrar que cada delimitada secuencia $\{f_n\}$ $X$ tiene un convergentes larga. Que es una aplicación repetida de la Ascoli-Arzelà y teorema de Cantor en diagonal del argumento; el acotamiento de $\{f^{(k+1)}_n\}$ implica que el equicontinuity de $\{ f^{(k)}_n\}$. Para más detalles de este argumento, se puede hacer referencia a

No existe ninguna norma en la $C^\infty ([a,b])$?

Ya que es una normativa espacio con Montel-Heine-Borel de propiedad, tiene que ser finito dimensionales.

Por otro lado, $\mathbb{P}[0,1]$ es ya de infinitas dimensiones. A continuación, $X$ tiene que ser al menos de infinitas dimensiones.

Algo debe de estar mal.

referencias:

Cada normativa espacio tiene una terminación?

Answer 1

Creo que el problema es que la unidad de la bola en $X$ no es compacto. El Ascoli-Arzelà y teorema de Cantor en diagonal del argumento no son lo suficientemente fuertes como para los rendimientos de los convergentes larga en $X$. En efecto, consideremos $f_n=\frac{x^n}{n!}$. Puede mostrar que $\|f_n\|=1$, e $\|f_n-f_m\|=1$ si $n\neq m$. Por lo tanto, no tiene ningún convergente larga. Sin embargo, uno puede encontrar que para cualquier $k$, sostiene que $\|f_n\|_{C^k[0,1]}\to 0$ $n\to\infty$.