Datos técnicos

Question

Deje $k$ ser un campo con $\mathrm{char}(k) = 0$$f_{1},...,f_{n} \in k[X_{1},...,X_{n}]$. Considere la matriz jacobiana $A := (\frac{\partial f_{j}}{\partial X_{l}})$ y supongamos que $\det(A) = 1$. Es cierto que $\sqrt{(f_{1},...,f_{n})} = (f_{1},...,f_{n})$?

Tenga en cuenta que si $n = 1$,$\det(A) = 1 \Longrightarrow f_{1} = X+b$$b \in k$. Por eso, $\sqrt{(f_{1})} = (f_{1})$.

Answer 1

Deje $R=k[x_1, \dotsc, x_n]/(f_1, \dotsc, f_n)$$X=\operatorname{Spec}R$. Tenemos que mostrar que $R$ es reducido.

Podemos suponer que $k$ es algebraicamente cerrado, debido a que el supuesto sobre el Jacobiano es, sin duda invariante después de pasar a la algebraicas clousure y si $R$ no se redujeron, $R \otimes_k \overline k$ no fueron reducidos por la virtud de la inyección de $R \hookrightarrow R \otimes_k \overline k$.

Si $X=\emptyset$, nosotros no tenemos nada que mostrar. De lo contrario, deje $x \in X$. Por esta hermosa respuesta, obtenemos $$\dim_{k(x)} \Omega_X \otimes k(x) = n-\operatorname{rank} J_x,$$

donde $J_x$ es la matriz Jacobiana evaluada en $x$. Por su asunción en el Jacobiano, obtenemos $\dim_{k(x)} \Omega_X \otimes k(x)=0$, es decir, Nakayama rendimientos $\Omega_{X,x}=0$. Ya que esto es válido para cualquier $x \in X$, obtenemos $\Omega_X=0$.

A continuación, vamos a ver que $X$ es realmente cero-dimensional. Esto es suficiente para mostrar que ninguna componente irreducible de $X$ es cero-dimensional. Por genérica de suavidad, cualquier componente admite un no-vacío abierto $U$, donde es no singular, es decir, $\mathcal \Omega_U$ es de la zona libre de rango $\dim U$. Esta muestra $\dim U=0$ y ya que usted revise la dimensión no-vacío abierto subconjunto finito, tipo de caso, se tiene que cualquier irreductible componente es cero-dimensional, por lo $X$ es cero-dimensional, es decir, de un número finito de conjunto discreto de puntos. Esto significa $R = A_1 \times \dotsc \times A_s$ local artinian anillos de $A_i$.

Estamos a la izquierda para mostrar que cada una de las $A_i$ es un campo. Tenga en cuenta que $A_i$ es un cociente de $R$, en particular satisface las hipótesis del Teorema II.8.8 en Hartshorne, lo $\Omega_{A_i}=0$ implica que el $A_i$ es regular. Un local normal artinian anillo es un campo.