generalización de extinción

Question

Es correcto $$\lim_{L\to\infty} \int_0^L d x \int_0^L dy \int_0^L d z \frac{\sin(x+y)}{x+y}\frac{\sin(y+z)}{y+z}\frac{\sin(z+x)}{z+x} =\frac {\pi^3}{16}. $ $ o ¿alguien tiene una referencia para esto? El valor $\frac{\pi^3}{16}$ viene de caracteres numéricos. La identidad $$ \lim_{L\to\infty}\int_0^L \frac{\sin(x)}{x} = \frac \pi 2 $ $ (que a veces también se llama Dirichlet integral) es conocida y hay muchas maneras de demostrarlo. Sin embargo, necesito la generalización leve de esto anteriormente.

Answer 1

Como David C. Ullrich lo $$ u=x+y,v=y+z,w=x+z. $ $ después $ de $$ x=\frac{1}{2} (u-v+w),y=\frac{1}{2} (u+v-w),z=\frac{1}{2}(-u+v+w) $ y $$ \frac{\partial(x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\frac12.$ $ también tenga en cuenta que $0\le x,y,z\le L$, $0\le u,v,w\le 2L$. Así\begin{eqnarray} &&\lim_{L\to\infty} \int_0^L d x \int_0^L dy \int_0^L d z \frac{\sin(x+y)}{x+y}\frac{\sin(y+z)}{y+z}\frac{\sin(z+x)}{z+x} \\ &=&\lim_{L\to\infty} \int_0^{2L} d u \int_0^{2L} dv \int_0^{2L} d w \frac{\partial(x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\frac{\sin(u)}{u}\frac{\sin(v)}{v}\frac{\sin(w)}{w} \\ &=&\frac12\lim_{L\to\infty}\bigg[\int_0^{2L} d u \frac{\sin(u)}{u}\bigg]^3\\ &=&\frac {\pi^3}{16}. \end{eqnarray}