Secuencia de enteros positivos.

Question

Una secuencia infinita de aumento de enteros positivos es dado con delimitada primeras diferencias.

Demostrar que existen elementos $a$ $b$ en la secuencia tal que $\dfrac{a}{b}$ es un entero positivo.

Creo que tal vez la computación Natural de la Densidad de la secuencia llevaría a una contradicción. Pero no sé si es que existe.

Cualquier ayuda será apreciada.
Gracias.

Answer 1

Aquí está una 1935 papel de un relativamente joven Erdős probar en un par de líneas que una secuencia de enteros positivos que no se separen el uno del otro debe tener menor densidad cero, como una consecuencia del hecho de que $\sum_n 1/(a_n \log a_n)$ está delimitado por una absoluta constante. En particular, una secuencia con lagunas delimitada por $d$ tiene una baja densidad de al menos $1/d$, por lo que esto demuestra la demanda, pero tal vez hay una manera más directa argumento. El delimitada brecha requisito no precisamente de eliminar cualquier posibilidad de un Besicovitch-tipo de construcción (que produce un resultado positivo superior de densidad, pero presenta deficiencias que crecen muy rápidamente en longitud).

Answer 2

Tengo dudas sobre la eficiencia de esta prueba en el intento, pero es sólo una extensión de @MooS 's respuesta que se basa en el hecho de que el aumento de primer lagunas son divergentes hacia el infinito, y que son!:

La prueba en el documento afirma que para una arbitraria de un gran $n$ hay una secuencia $n!,n!+2,n!+3,n!+4....n!+n=n!,2(n!/2+1),3(n!/3+1)...$ de compuesto de números de la intermediación de la mayor prime $p_0$ $n$ y el más cercano a $p_1$ después $n!+n$ que converge, respectivamente, de mayor $n$.

En este terreno se debe remarcar que recoger los números primos consecutivos iterately nos va a forzar a una trampa! ¿qué es ? es como un cul-de-sac después de consecutivos salta sobre el primer lagunas que deben existir algunos infinitamente divergentes uno cuando tiene que elegir un número compuesto como se ven obligados a estar vinculado a algún límite de las diferencias.

Lo que si es un rango de números primos se omiten ? Los siguientes números deben ser mutuamente indivisible por escrito en el formulario de omiten los números primos. $p_0^ip_1^j...$ en la próxima debe tener la disminución de primer pesos, lo que significa descendente conjuntos de {i,j..} por lo tanto no dividir su anterior. Que de inmediato se indica que al levantar un compuesto $p_0^ip_1^jp_2^k$, por ejemplo, debe, en consecuencia, conducen a un siguiente $p_0^{i'}p_1^{j'}p_2^{k'}\prod_l p_l^l$ donde $i+j+k>i'+j'+k'$.

Vamos a denotar un primer cociente: una relación entre dos compuestos mutuamente indivisible de los números elegidos en consecuencia. El primer cociente entre los dos compuestos es $\frac{p_0^{i'}p_1^{j'}p_2^{k'}\prod_l p_l^l}{p_0^ip_1^jp_2^k}$ sus valores están aumentando continuamente. La única constante de la secuencia que garantiza una primos más pequeños cociente es $p_jp_{j+1}$ el primer cociente es en última instancia pequeño que es igual a $\frac{p_{j+2}}{p_j}$, en consecuencia, la brecha entre ellos $p_{j+1}(p_{j+2}-p_{j})$ es divergente.

Yo tenía la intención de comprobar mis afirmaciones con una exhaustiva sweepment programa, pero ya hay un puñado aquí por el cual uno puede asegurar que el aumento de la n-prime lagunas son también divergentes.