Puede tanto $x^2 + y+2$ $y^2+4x$ plazas?

Question

Demostrar que no existen enteros positivos $x$ $y$ tanto $x^2+y+2$ $y^2+4x$ son cuadrados perfectos.

Pensé que tal vez podría resolver esto a través de la plaza de delimitación, pero no pude llegar a ninguna parte con él.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Gracias a Erick Wong para la configuración de mí en la pista de la derecha.

Asumir en aras de la contradicción que $x^2+y+2$ $y^2+4x$ ambos son cuadrados perfectos.

Entonces como $y$ es un entero positivo, $x^2+y+2 \geq (x+1)^2=x^2 +2x+1$ $$\implies y+2\geq 2x+1$$ $$y+1 \geq 2x \; \; \; \; \; (1)$$

Siguiendo un argumento similar, como $x$ es un entero positivo, $y^2+4x \geq (y+1)^2=y^2+2y+1$ $$\implies 4x \geq 2y+1$$ Pero, $4x$ es incluso y $2y+1$ es extraño por lo tanto la igualdad nunca puede sostener y, por tanto, $$y^2+4x \geq (y+2)^2=y^2+4y+4$$ $$\implies x \geq y+1 \; \; \; \; (2)$$

La combinación de (1) y (2) tenemos que $x \geq y+1 \geq 2x$ $$\implies x \geq 2x$$ Lo cual es una contradicción como $x \geq 1$.

Por lo tanto, no hay números enteros positivos $x$ $y$ la satisfacción de los requerimientos. QED

Answer 2

Tal vez es mejor para resolver este tipo de sistema el sistema de Diophantine ecuaciones:

$$\left\{\begin{aligned}&x^2+yz+2z^2=q^2\\&y^2+4xz=r^2\end{aligned}\right.$$

A continuación, la solución se puede escribir.

$$x=p^3+4kp^2-4pk^2-k^3$$

$$y=p^3+142kp^2+49pk^2+4k^3$$

$$z=4p(5k^2+53kp+138p^2)$$

$$q=781p^3+350kp^2+44pk^2+k^3$$

$$r=47p^3+106kp^2+39pk^2+4k^3$$

$p,k$ - enteros nos pidió.