Es la gráfica de $xy=1$ $\mathbb C^{2}$ conectado?

Question

La gráfica de $xy=1$ $\mathbb C^{2}$ es el conjunto de puntos de $(x+iy,u+iv)$ que satisface $$xu-yv=1$$ and $$uy+xv=0$$ Cómo saber si este conjunto está conectado o no .

También tengo otra duda. Puede este conjunto refiero a la colección de puntos $\{x+iy \in \mathbb C | xy=1\}$=$\{x+{{i}\over {x}}|x\in \mathbb R\}$ $?$

Algunos de plomo por favor , estoy totalmente desorientado.

Answer 1

El conjunto $S=\{\,(x,y)\in\mathbb C:xy=1\,\}$ es incluso trayectoria-conectado: Dado $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in S$,$x_1,x_2\in\mathbb C^\times$, que es la ruta de acceso conectado. Si $\gamma\colon [0,1]\to \mathbb C^\times$ es una curva con $\gamma(0)=x_1$, $\gamma(1)=x_2$, entonces $\tilde\gamma\colon[0,1]\to S$, $t\mapsto (\gamma(t),1/\gamma(t))$ es un camino en el $S$$(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)$.

Respecto a tu segundo punto: No. La gráfica (a los que llamo $S$ anterior) es, naturalmente, un subconjunto de a $\mathbb C^2$, no de $\mathbb C$. Las variables $x,y$ en la primera fórmula $xy=1$ se entiende por complejo, mientras que (que es un poco de mala suerte, pedagógicamente hablando) en $(x+iy,u+iv)$ son números reales y el $x+iy$ es lo primero que se $x$ $u+iv$ es lo primero que se $y$. Esta es una lamentable confusión de la notación (especialmente, los dos $x$ aparecen en $x=x+iy$ son nnot el mismo!) Una mejor anotación de la declaración del problema podría tener beedn útil para que usted pueda entender.

Answer 2

Es más fácil demostrar que este es el camino conectado.

Paso 1: Probar que cada punto en el conjunto solución está conectado a un punto donde $|x|=1$. Es decir, si $xy=1$, luego de considerar los múltiplos $x/\lambda$$\lambda y$, pero variando $\lambda$$1$$|x|$, puedes cambiar continuamente $xy=1$ en una solución donde la $|x|=1$.

Paso 2: Observar que cuando $|x|=1$, $|y|=\frac{1}{|x|}=1$ así. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que el conjunto de soluciones donde $|x|=1$ es también la ruta de acceso conectado. Para cada $x=e^{i\theta}$ debe ser ese $y=e^{-i\theta}$ (que es la única solución). Variando $\theta$, se construye una ruta de acceso desde cualquier punto de $x$ sobre el círculo unidad a cualquier otro punto.