Mentira soporte de campos vectoriales definición de equivalencia

Question

Mentira soporte de campos vectoriales se define de dos maneras:

Deje $\Phi^X_t$ ser el flujo asociado con el campo de vectores $X$, y deje $d$ denotar la tangente mapa operador de la derivada. Entonces la Mentira de soporte de $X$ $Y$ en el punto de $x \in M$ puede se define como $[X, Y]_x := \lim_{t \to 0}\frac{(\mathrm{d}\Phi^X_{-t}) Y_{\Phi^X_t(x)} - Y_x}t = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0} (\mathrm{d}\Phi^X_{-t}) Y_{\Phi^X_t(x)}$

o, equivalentemente, $[X, Y]_x := \left.\frac12\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{dt}^2}\right|_{t=0} (\Phi^Y_{-t} \circ \Phi^X_{-t} \circ \Phi^Y_{t} \circ \Phi^X_{t})(x) = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0} (\Phi^Y_{-\sqrt{t}} \circ \Phi^X_{-\sqrt{t}} \circ \Phi^Y_{\sqrt{t}} \circ \Phi^X_{\sqrt{t}})(x)$

¿Cómo hace uno para mostrar las matemáticas que estas dos definiciones son equivalentes? Y para la segunda definición, ¿cómo hace uno para demostrar que $\left.\frac12\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{dt}^2}\right|_{t=0} (\Phi^Y_{-t} \circ \Phi^X_{-t} \circ \Phi^Y_{t} \circ \Phi^X_{t})(x) = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0} (\Phi^Y_{-\sqrt{t}} \circ \Phi^X_{-\sqrt{t}} \circ \Phi^Y_{\sqrt{t}} \circ \Phi^X_{\sqrt{t}})(x)$?

Answer 1

Deje $c(t)= \psi_{-t} \circ \phi_{-t} \circ \psi_t \circ \phi_t(p)$. En su libro Una completa introducción a la geometría diferencial, Spivak muestra que $c'(0)=0$ $c''(0)=2[X,Y]_p$ (Prop. 15 y Thm. 16, pág. 160-163).

Para simplificar las notaciones, se define $$\begin{array}{l} \alpha_1(t,h)= \psi_t \circ \phi_h(p) \\ \alpha_2(t,h)=\phi_{-t} \circ \psi_h \circ \phi_h(p) \\ \alpha_3(t,h) = \psi_{-t} \circ \phi_{-h} \circ \psi_h \circ \phi_h(p) \end{array}$$ so that $c(t)= \alpha_3(t,t)$. Noticing that $$\begin{array}{l} \alpha_2(0,t)= \alpha_1(t,t) \\ \alpha_3(0,t)= \alpha_2(t,t) \end{array}$$ and for any $f \C^{\infty}(M)$ $$\begin{array}{ll} \partial_t(f \circ \alpha_1) = Yf \circ \alpha_1 & \partial_t(f \circ \alpha_2)=-Xf \circ \alpha_2 \\ \partial_t(f \circ \alpha_3)=-Yf \circ \alpha_3 & \partial_h(f \circ \alpha_1)(0,h)=Xf(\alpha_1(0,h)) \end{array}$$ the identities $c'(0)=0$ and $c"(0)=2[X,Y]_p$ se muestran utilizando el cálculo diferencial.

Entonces, la identidad de $[X,Y]_p = \frac{d}{dt}_{|t=0} \psi_{-\sqrt{t}} \circ \phi_{-\sqrt{t}} \circ \psi_{\sqrt{t}} \circ \phi_{\sqrt{t}}(p)$ puede ser deducida de la anterior mediante el siguiente lema (Ex. 16, pág. 176):

Lema: Vamos a $c : \mathbb{R} \to M$ ser una curva suave satisfacer $c'(0)=0$. Si $\gamma(t)=c(\sqrt{t})$, $$\lim\limits_{h \to 0^+} \frac{\gamma(h)- \gamma(0)}{h}= \frac{1}{2}c''(0)$$

De hecho, debido a que sólo se considere el $f \circ c$ donde $f \in C^{\infty}(M)$, es suficiente para demostrar el lema de $c : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Pero $$c(h)=c(0)+ \underset{=0}{\underbrace{c'(0)}} \cdot h+ \frac{1}{2}c''(0) \cdot h^2+o(h^2)$$ implies $$\frac{c(\sqrt{h})-c(0)}{h}= \frac{1}{2}c''(0)+o(1).$$