Trayectoria-conectado y conectado localmente espacio que no es localmente trayectoria-conectado

Question

Estoy tratando de clasificar los distintos conceptos topológicos acerca de la conexión. De acuerdo a 3 afirmaciones (Localmente) ruta de acceso-conexión implica (a nivel local), de conexión. Conexión junto con la ruta de acceso local-conectividad implica ruta-conectividad.), podemos dibujar el siguiente diagrama:

+--------------------------+
|Connected                 |
|             1      +-----+----------------------------+
|                    |  3  |           Locally connected|
|   +----------------+-----+     6                      |
|   |Path-connected  |  4  |                            |
|   |                +-----+------------------------+   |
|   |    2           |  5  |  Locally path-connected|   |
+---+----------------+-----+                        |   |
                  8  |           7                  |   |
                     +------------------------------+---|

Por lo tanto, quiero encontrar ejemplos de todos estos 8 categorías, pero no puedo encontrar un ejemplo para 4 personas.

1. El topologist de la curva sinusoidal
2. El peine de espacio
3. La orden de la plaza
4. Ver más abajo
5. La línea real
6. La desunión de la unión de dos espacios del 3er tipo
7. $[0,1] \cup [2,3]$
8. Los racionales

En realidad no es una respuesta que da un ejemplo de tipo 4, pero no hay ninguna explicación. ¿Alguien puede por favor explicar (por lo que no es localmente trayectoria-conectado, para ser específicos) o dar otro ejemplo?

Answer 1

Deje $\mathbb{R}_c$ $\mathbb{R}$ con el cocountable topología. Vamos a mostrar que el cono no es localmente trayectoria-conectado, donde el cono es $$X=(\mathbb{R}_c \times [0,1])/\sim$$ with $(x,t)\sim (x',t')$ if $t=t'=1$.

Lema. Deje $A$ ser un innumerable conjunto con la cocountable topología. A continuación, compacto subconjuntos de a $A$ son finitos y conectado subconjuntos son los únicos o incontable.

Prueba. Supongamos $B\subset A$ es compacto y (countably o uncountably) infinito. Dado cualquier countably infinito subconjunto $B_0\subset B$, podemos cubrir la $A$ con los conjuntos de la forma$U_b=b \cup (A \setminus B_0)$$b \in B_0$. De un número finito de subcolección de estos conjuntos de $U_b$ puede contener sólo un número finito de elementos de $B$, por lo tanto $B$ no es compacto. Ahora supongamos que $C \subset A$ está conectado y contiene más de un elemento. Desde finito/contables subespacios en la cocountable topología tiene el discreto (subespacio) topología, $C$ es incontable. $\square$

Reivindicación 1. Cada ruta en $\mathbb{R}_c$ es constante. Por lo tanto no abra los subconjuntos de a $\mathbb{R}_c$ trayectoria-conectado; en particular, $\mathbb{R}_c$ no es localmente trayectoria-conectado.

Prueba. Deje $f:[0,1] \to \mathbb{R}_c$ ser continua. La imagen de $f([0,1])$ es compacto y conectado, por lo que debe ser un singleton establecido por el lema. $\square$

Reivindicación 2. El cono en $\mathbb{R}_c$, denotado $X$, no es localmente trayectoria-conectado.

Prueba. Fijar un punto de $(x,t)$ en el abierto subconjunto $\mathbb{R}_c \times [0,1) \subset X$. Cualquier camino de $f:[0,1] \to\mathbb{R}_c \times [0,1)$ proyectos a un camino de $p \circ f:[0,1] \to \mathbb{R}_c$ bajo la proyección $p: \mathbb{R}_c \times [0,1) \to \mathbb{R}_c$. Por la Reivindicación 1, $p \circ f$ es constante, por lo que todos los caminos en $\mathbb{R}_c \times [0,1)$ fijado su primera coordenada. Porque cada abierto barrio de $(x,t)$ incluye puntos de $(x',t')$$x'\neq x$, de ello se sigue que ningún barrio de $(x,t)$ es la ruta de acceso conectado. Por lo tanto $X$ no es localmente trayectoria-conectado. $\square$

Observación. Cualquier innumerables conjunto con la cocountable topología está conectado porque cualquiera de los dos (no vacío) abrir conjuntos de intersección. De ello se desprende que abrir los subconjuntos de un espacio de este tipo son en sí mismos innumerables conjuntos con la cocountable (subespacio) topología, por lo tanto todos los subconjuntos abiertos están conectados. Entonces, ciertamente, el espacio original está conectado localmente. Desde un producto finito de conectado localmente espacios está conectado localmente, $\mathbb{R}_c \times [0,1]$ está conectado localmente. Cociente de mapas también preservar las relaciones, por lo que esto implica que el cono $X$ está conectado localmente.

Answer 2

Un muy buen ejemplo de (4) es una "larga círculo". Es decir, que $L$ ser cerrado largo de la línea, con los extremos de $0$$\omega_1$, y se acuestan a $L$ un camino de $0$ $\omega_1$para obtener un espacio de $S$. A continuación, $S$ es la ruta de acceso conectado y conectado localmente, pero no es localmente trayectoria-conectado a $\omega_1$.