Variacionales derivados de esquemas fuertemente conectados en teoría gauge

Question

De fondo

En Jorge C. Romao la "Avanzada de la Teoría Cuántica de campos", al final de la página 218, Eq (6.266) se lee: $$\etiqueta{1} \left.\frac{\delta^{2}}{\delta \omega^{b}(y)\delta A_{\mu}^{c}(z)}\left[ \frac{\delta \Gamma}{\delta K_{\mu}^{a}(x)}\frac{\delta \Gamma}{\delta^{\mu , un}(x)} \right]\right|_{\text{fuentes} = 0} = \left.\frac{\delta^{2} \Gamma}{\delta \omega^{b}(y)\delta K_{\mu}^{a}(x)}\frac{\delta^{2} \Gamma}{\delta^{c}_{\nu}(z)\delta^{\mu,un}(x)}\right|_{\text{fuentes} = 0}. $$

Aquí $$\etiqueta{2} S = \int \mathrm{d}^{4}x\left( -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} - B_{a}f^{a} + \frac{1}{2 \varepsilon}B_{a}B^{a} - \bar{\omega}^{a}M_{ab}\omega^{b} + K_{\mu}^{a}\delta A_{a}^{\mu} + L_{un}\delta \omega^{a} \right), $$ donde:

• $B_{a}$ es de apoyo escalar de campo, la cual es necesaria para BRST transformaciones
• $f_{a}$ es el indicador de la condición de $A_{\mu}^{a}$ campos
• Los dos últimos términos en (2) son BRST-invariante términos de $(K_{\mu}^{a}\delta A_{a}^{\mu} + L_{a}\delta \omega^{a})$ añadido a la "costumbre" de acción para la comodidad de trabajar con la generación funcional $Z[J]$ (véase la transición de (6.238) a (6.244) a través de (6.239) y (6.243)); $K_{\mu}^{a}, K_{i}$ son fuentes de BRST-transforma los campos de $\delta A_{\mu}^{a}$ $\delta \omega_{a}$
• $\delta \varphi$ significa BRST-transformación de $\varphi$

Tenemos la partición funcional $$\etiqueta{3} Z[J] = \int D(A, \omega, \dots)e^{i(S + \int \mathrm{d}^{4}x (J_{\mu}^{a}^{\mu}_{a} + \bar{\eta}^{a}\omega_{a} + \bar{\omega}^{a}\eta_{a}))}; $$ y la generación funcional para fuertemente conectado diagramas $$\etiqueta{4} \Gamma = W - \int \mathrm{d}^{4}x(J_{\mu}^{a}^{\mu}_{a} + \bar{\eta}^{a}\omega_{a} + \bar{\omega}^{a}\eta_{a}). $$ El autor escribe esta ecuación en un capítulo acerca de la derivación de transverseness de full gauge bosón de propagador mediante Slavnov-Taylor identidad.

Pregunta

No entiendo por qué en $(1)$ cúbico funcional términos derivados como $[\delta^{3}\Gamma/\delta(\cdots)]$ son cero, y por qué los términos

$$\tag{5}\frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta A_{\nu}^{c}\delta K_{\mu}^{a}}\frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta \omega^{b}\delta A^{\mu , a}}=0.$$

¿Por qué desaparecen?

Answer 1

Uno ha $ \dfrac{\delta \Gamma}{\delta K^\mu_a(x)} = sA_\mu^a(x)= \partial_\mu \omega^a(x) - g f^{abc} \omega^b(x)A_{\mu}^ c(x) $

Nos damos cuenta de que : $$sA_\mu^a(x))|_{fields=0}= 0 \tag{1}$$

Nos damos cuenta de que : $$\dfrac{\delta}{\delta \omega^b(y)}sA_\mu^a(x)|_{fields=0} = (\partial_\mu \delta^a_b \delta(x-y) - g f^{abc} \delta(x-y)A_{\mu}^ c(x)|_{fields=0} = \partial_\mu \delta^a_b \delta(x-y)\tag{2}$$

Así que este término no es cero. Notamos también que : $$\dfrac{\delta}{\delta A_\nu^c(z)}sA_\mu^a(x)|_{fields=0} = - g f^{abc} \omega^b(x) \delta_\mu^\nu\delta (x-y)|_{fields=0} =0 \tag{3}$$

Uno tiene : $\dfrac{\delta \Gamma}{\delta A_\mu^a(x)} = - J^\mu_a(x) $, y, obviamente:

$$J^\mu_a(x))|_{sources=0} =0 \tag{4}$$

Por eso, $\dfrac{\delta \Gamma}{\delta K^\mu_a(x)} \dfrac{\delta \Gamma}{\delta A_\mu^a(x)} = - sA_\mu^a(x) J^\mu_a(x) $

Entonces :

$\dfrac{\delta}{\delta A_\nu^c(z)}\dfrac{\delta}{\delta \omega^b(y)} (\dfrac{\delta \Gamma}{\delta K^\mu_a(x)} \dfrac{\delta \Gamma}{\delta A_\mu^a(x)})|_{fields=sources=0}\\= \dfrac{\delta}{\delta A_\nu^c(z)}\dfrac{\delta}{\delta \omega^b(y)} (-sA_\mu^a(x) J^\mu_a(x)|_{fields=sources=0} $

La doble derivación da cuatro términos, el primer término es :

$$-\dfrac{\delta}{\delta A_\nu^c(z)}\dfrac{\delta}{\delta \omega^b(y)} (sA_\mu^a(x))|_{fields=sources=0} \quad J^\mu_a(x)|_{fields=sources=0}\tag{I}$$ y es cero, porque de $(4)$

El segundo término es : $$-\dfrac{\delta}{\delta A_\nu^c(z)} (sA_\mu^a(x))|_{fields=sources=0} \quad \dfrac{\delta}{\delta \omega^b(y)} J^\mu_a(x)|_{fields=sources=0}\tag{II}$$ y es cero, porque de $(3)$

El tercer término es : $$-\frac{\delta}{\delta \omega^b(y)} (sA_\mu^a(x))|_{fields=sources=0} \quad \dfrac{\delta}{\delta A_\nu^c(z)}J^\mu_a(x)|_{fields=sources=0}\tag{III}$$ y es diferente de cero (ver $(2)$)

El último término es : $$- (sA_\mu^a(x))|_{fields=sources=0} \quad \frac{\delta}{\delta \omega^b(y)} \dfrac{\delta}{\delta A_\nu^c(z)}J^\mu_a(x)|_{fields=sources=0}\tag{IV}$$ y es de cero, porque de $(1)$

Así que, finalmente, sólo nos queda el tercer término, que se puede reescribir :

$\dfrac{\delta}{\delta \omega^b(y)}\dfrac{\delta}{\delta K^\mu_a(x)} (\Gamma)|_{fields=sources=0} \quad \dfrac{\delta}{\delta A_\nu^c(z)}\dfrac{\delta}{\delta A_\mu^a(x)}(\Gamma)|_{fields=sources=0}$

[ACTUALIZACIÓN]

En primer lugar, debo corregir mi comentario anterior que estaba mal. De hecho, con el funcional $\Gamma(\Phi, J_{BRST})$ donde $\Phi$ representan todos los campos, y $J_{BRST}$ de las fuentes de la BRST variaciones de campos (la $K, L$), cuando se calcula el vértice funciones, tomamos sucesivos derivados de $\Gamma(\Phi, J_{BRST})$ relativamente a la $\phi$ y/o relativamente a la $J_{BRST}$, y después de poner $\Phi= J_{BRST}=0$. Este es el procedimiento estándar, y está implícito en la mayoría de los libros de texto. Tenga en cuenta que usted tiene la misma cosa a la que se conectarán diagrama funcional $W(J,J_{BRST})$: para obtener las funciones de correlación, que se derivan $(J,J_{BRST})$ relativamente a la $J$ y/o $J_{BRST}$ hacer $J= J_{BRST}=0$. Todo esto es estándar y "implícita". Así que, volviendo a nuestro vértice de la expresión de los derivados de la $\Gamma(\Phi, J_{BRST})$, el hecho de que se nos ponen los campos a cero, es la norma, y no tiene nada que ver con el vacío. La condición es que aquí se $J=0$, y es esta condición la que está relacionada con el hecho de que estamos considerando vaccuum diagramas, y es por eso que, en su libro de texto, esta condición está explícitamente declarado. Ahora, para responder a tu primer comentario, el $J = \frac{\partial \Gamma}{\partial A}$ depende de la $A, \omega$, debido a que el vértice funciones como $\frac{\partial \Gamma}{\partial A \partial A \partial \omega}$ son no nulos, y en realidad se podría traduce ellos, con propagadores, en las correlaciones de funciones $\frac{\partial W}{\partial J \partial J \partial \eta}$ que no son cero.