Como mencioné en mi comentario, hay un análogo de esto para $\sigma$ -campos pero es mucho más complicado. Para simplificar un poco la discusión, voy a fingir que las únicas operaciones que nos interesan son la unión y la intersección, e ignorar los complementos. De hecho, debido a las identidades $(\bigcap A_i)^c=\bigcup A_i^c$ y $(\bigcup A_i)^c=\bigcap A_i^c$ no se pierde nada por ignorar los complementos si se asume el conjunto generador $\mathcal{A}$ es cerrado bajo la toma de complementos: esas identidades siempre permiten mover los complementos al "interior" de cualquier expresión booleana.
Comencemos por esbozar una solución al problema 2.5(b) de Billingsley; luego veremos qué es lo que falla y hace el caso de $\sigma$ -campos mucho más difíciles. Intuitivamente, $\mathcal{F}(\mathcal{A})$ debe construirse a partir de $\mathcal{A}$ tomando iterativamente uniones e intersecciones y uniones e intersecciones y (...) cualquier número finito de veces. Más concretamente, dejemos que $S_0=\mathcal{A}$ , dejemos que $S_1$ sea el conjunto de todas las intersecciones finitas de elementos de $S_0$ , dejemos que $S_2$ sea el conjunto de todas las uniones finitas de elementos de $S_1$ , dejemos que $S_3$ sea el conjunto de todas las intersecciones finitas de elementos de $S_2$ y así sucesivamente. No es difícil demostrar que $\mathcal{F}(\mathcal{A})=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} S_n$ .
Concretamente, un elemento de $S_1$ parece $\bigcap_{i=1}^n A_i$ un elemento de $S_2$ parece $\bigcup_i\bigcap_j A_{ij}$ un elemento de $S_3$ parece $\bigcap_i\bigcup_j\bigcap_k A_{ijk}$ y así sucesivamente (en cada caso, estas uniones e intersecciones son sobre un conjunto de índices finito). Así que el problema 2.5(b) está afirmando que en realidad, $\mathcal{F}(\mathcal{A})$ es sólo $S_2$ (la afirmación adicional que puede organizar para los conjuntos $\bigcup_j A_{ij}$ para ser disjuntos no es entonces difícil de demostrar también). ¿Por qué es esto cierto? Viene del hecho de que las intersecciones se distribuyen sobre las uniones: $$\bigcap_{i=1}^n\bigcup_{j=1}^m B_{ij}=\bigcup_f\bigcap_{i=1}^n B_{if(i)},$$ donde $f$ abarca todas las funciones $\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots m\}$ (si no estás familiarizado con esta identidad, es un bonito ejercicio para probarla). Usando esta identidad, siempre que tengamos una secuencia $\bigcap\bigcup$ en una expresión para un elemento de $\mathcal{F}(\mathcal{A})$ podemos sustituirlo por $\bigcup\bigcap$ (con un cambio de índice fijado en el $\bigcup$ ). Así, por ejemplo, un elemento $\bigcap\bigcup\bigcap A_{ijk}$ de $S_3$ se puede reescribir en la forma $\bigcup\bigcap\bigcap A_{ijk}$ que se puede reescribir en la forma $\bigcup\bigcap A_{ij}$ simplemente combinando los conjuntos de índices de las dos intersecciones. Usando esta regla repetidamente, podemos reducir cualquier expresión en cualquier $S_n$ todo el camino hasta $S_2$ .
Bien, ahora vamos a intentar aplicar lo que acabamos de hacer a $\sigma$ -campos. Podemos definir los conjuntos $S_n$ igual que antes, excepto que ahora queremos permitir intersecciones y uniones contables, no sólo intersecciones y uniones finitas. A continuación esperamos demostrar que un elemento de cualquier $S_n $ puede reducirse a $S_2$ utilizando la ley distributiva. Aquí nos encontramos con un problema: la ley distributiva para intersecciones y uniones contablemente infinitas dice que $$\bigcap_{i\in\mathbb{N}}\bigcup_{j\in\mathbb{N}} B_{ij}=\bigcup_{f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}}\bigcap_{i\in\mathbb{N}} B_{if(i)}.$$
Esto no es bueno porque hay incontables funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ por lo que nuestra unión exterior ya no es una unión contable. (Esto no era un problema en el caso finito porque el conjunto de todas las funciones entre dos conjuntos finitos es siempre de nuevo un conjunto finito). Así que si intentamos reducir un elemento de $S_3$ a un elemento de $S_2$ como antes, terminamos con una expresión $\bigcup\bigcap A_{ij}$ donde la unión es sobre un conjunto de índices incontables. Dicha unión no tiene por qué ser un elemento de $S_2$ , así que esto no sirve de nada.
Así que en el caso de $\sigma$ -campos, no podemos decir que $\bigcup_n S_n$ es sólo $S_2$ y obtener una expresión muy simple para lo que un elemento de $\mathcal{F}(\mathcal{A})$ parece. Pero ese no es el único problema. También nos enfrentamos al problema de que $\bigcup_n S_n$ puede no ser ni siquiera un $\sigma$ -campo, por lo que no es todo $\mathcal{F}(\mathcal{A})$ . Por ejemplo, si tomamos una secuencia de conjuntos $B_n$ tal que $B_n\in S_n$ para cada $n$ no hay ninguna razón para creer que la intersección $\bigcap_n B_n$ está en cualquier $S_n$ . (Esta cuestión no se planteó en el caso finito, ya que si sólo estamos tomando una intersección finita, tendría que haber algún $S_n$ que contiene todos nuestros $B$ 's, y entonces la intersección tendría que estar en $S_{n+1}$ .) Para obtener una $\sigma$ -campo, tenemos que seguir: podríamos definir $S_\omega=\bigcup_n S_n$ y, a continuación, deja que $S_{\omega+1}$ sea el conjunto de todas las intersecciones contables de elementos de $S_{\omega}$ y, a continuación, deja que $S_{\omega+2}$ sea el conjunto de uniones contables de elementos de elementos de $S_{\omega+1}$ y así sucesivamente. Más precisamente, podemos utilizar la inducción transfinita para definir conjuntos $S_{\alpha}$ para todos los ordinales como sigue:
- $S_0=\mathcal{A}$ .
- Si $\alpha$ es un ordinal límite, $S_\alpha=\bigcup_{\beta<\alpha} S_\beta$ .
- Si $\alpha=\beta+1$ es un ordinal sucesor de impar, $S_\alpha$ es el conjunto de todas las intersecciones contables de elementos de $S_\beta$ .
- Si $\alpha=\beta+1$ es un ordinal sucesorio par, $S_\alpha$ es el conjunto de todas las uniones contables de elementos de $S_\beta$ .
Para estar seguros de que realmente obtenemos un $\sigma$ -campo (que será el más pequeño $\sigma$ -campo que contiene $\mathcal{A}$ ), tenemos que iterar hasta el primer ordinal incontable $\omega_1$ . (Por fin podemos detenernos en $\omega_1$ porque cualquier conjunto contable de ordinales por debajo de $\omega_1$ tiene un límite superior inferior a $\omega_1$ .) Al final, cuando se mira lo que un elemento arbitrario de $\mathcal{F}(\mathcal{A})=S_{\omega_1}$ se encuentra que es una unión contable transfinanciada de intersecciones contables de uniones contables de (...) de elementos de $\mathcal{A}$ donde la iteración está indexada por algún árbol contable bien fundado, como se describe en esta pregunta .
