Posibles Duplicados:
¿Por qué el número de $N!$ puede terminar en exactamente $1,2,3,4,$ o $6$ ceros, pero nunca $5$ ceros?Cuántos ceros no $2012!$ final?
Mi idea es:
402 ceros vienen de $2\times 5$, 80 de $2\times 25$, 16 $2\times 125$ y 3 $2\times 625$
¿Cómo podemos "demostrar" que esto es cierto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La respuesta correcta es 501.
Para encontrar que el número de ceros es igual que encontrar el número de factores de potencias de $5$. Hay más factores de potencias de $2$ de los factores de potencias de $5$.
Por ejemplo $10! = 3628800 = \hspace{3pt}2^8 \hspace{3pt} 3^4 \hspace{3pt}5^2\hspace{3pt} 7$
$$\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor +\left \lfloor \frac{n}{p^2} \right \rfloor +\left \lfloor \frac{n}{p^3}\right \rfloor + \cdots \left \lfloor \frac{n}{p^{k-1}} \right \rfloor$$
donde $\left \lfloor \frac{n}{p^k} \right \rfloor=0$. En este caso $k=5$ porque $\left \lfloor \frac{2012}{5^5} \right \rfloor=0$
$$\left \lfloor \frac{2012}{5} \right \rfloor =402, \hspace{6pt} \left \lfloor \frac{2012}{5^2} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{402}{5} \right \rfloor =80$$
$$\left \lfloor \frac{2012}{5^3} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{80}{5} \right \rfloor =16, \hspace{6pt} \left \lfloor \frac{2012}{5^4} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{16}{5} \right \rfloor =3$$
$$\left \lfloor \frac{2012}{5} \right \rfloor+ \left \lfloor \frac{2012}{5^2}\right \rfloor +\left \lfloor \frac{2012}{5^3}\right \rfloor +\left \lfloor \frac{2012}{5^4} \right \rfloor = 402+80+16+3=501$$
lhf
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83572
Como han notado, ceros vienen solo del producto de un entero incluso con un múltiplo de 5. Puesto que hay menos múltiplos de 5 que múltiplos de 2, sólo tienes que considerar múltiplos de 5. Ahora múltiplos de potencias de 5 contribuyan más un cero. Así que el número de ceros en $n!$ $$ \def\F#1{\left\lfloor \frac{n}{#1}\right\rfloor} \F{5}+ \F{5^2} + \F{5^3} + \cdots $$
ricmarques
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453
Otorga el poder de cualquier primer $p$ $n!$
$[\frac{n}{p} ] + [\frac{n}{p^2}] + [\frac{n}{p^3}].......$
El número de ceros en $2012!$ es el número de veces 5 ocurre en sus factores primos
$[\frac{2012}{5} ] + [\frac{2012}{25}] + [\frac{2012}{125}] + [\frac{2012}{625}] + [\frac{2012}{3125}] $= $402 + 16+ 80 + 3 = 501$
por lo tanto, tiene el $2012! $ $501$ ceros.
