Me encontré con la siguiente pregunta, mientras que la preparación de un ejercicio de análisis básicos:
Supongamos $d$ es arbitraria métrica en $\mathbb R^N$ $(x^n) \subset \mathbb R^N$ converge a $x\in \mathbb R^N$ con respecto al $d$.
Pregunta: ¿$(x^n)$ convergen componente sabio con respecto a la norma habitual? (Y si no: ¿hay simples ejemplos de lo contrario?)
Hasta ahora, sé lo básico:
- El caso es resuelto si $d$ es inducida por una norma, porque todas las normas en $\mathbb R^N$ son equivalentes y $(x^n)$ converge de las componentes iff converge con respecto a cualquiera de las $p$-norma.
- El reverso de mi pregunta no es cierto. Si, por ejemplo, $d$ es el discreto métrica o el tren de alta velocidad métrica, la convergencia en norma necesidad no implica la convergencia en la métrica.
- Si $\mathbb R^N$ es visto como un espacio topológico $(\mathbb R^N,\tau)$, entonces la convergencia con respecto a $\tau$ necesidad no implica la convergencia en norma. (E. g. $\tau = \{\emptyset,\mathbb R^N\}$, que no es inducida por la métrica.)
- Todos los ejemplos de métricas que yo consideraba tan lejos (el habitual ejemplos) tiene la propiedad deseada (y las pruebas son fáciles, como estas métricas se definen mediante las componentes distancias $|x_k-y_k|$). Uno podría decir, estas métricas son demasiado normy, pero no sé, si no hay normy ejemplos o si mi pregunta sólo puede ser resuelto de una manera más abstracta.
Mi pregunta surge de forma natural, así que tal vez hay una simple respuesta que he pasado por alto hasta ahora. Gracias de antemano por su ayuda.
